数学分析初步（五）：重积分与曲线曲面积分

二重积分

设 $f(x,y)$ 是平面有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将区域 $D$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域

$$T=\{\Delta\sigma_1.\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n\}$$

其中 $\Delta\sigma_i$ 既表示第 $i$ 个小区域，同时也表示它的面积，其中任意两个小区域 $\Delta\sigma_i$ 与 $\Delta\sigma_j$ 除边界外无公共点。任取一点 $(\xi_i,\eta_i)\in\Delta\sigma_i$，作和式

$$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

以 $d_i$ 表示 $\Delta\sigma_i$ 的直径，则分割的细度表示为

$$||T||=\max\limits_{1\leq i\leq n}\{d_i\}$$

如果当 $||T||\to 0$ 时，和式的极限

$$\lim_{||T||\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

存在，并且这个极限与区域的分割方法及点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上是可积的，并称此极限为函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分（double integral），记作

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{||T||\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

在直角坐标系中，面积元素 $\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，则二重积分可以记作

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则其在 $D$ 上可积。

二重积分的几何意义：

如果被积函数 $f(x,y)\geq 0$，且在有界闭区域 $D$ 上连续，则二重积分 $\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ 在数值上恰好是以曲面 $z=f(x,y)$ 为曲顶，以区域 $D$ 为底的曲顶主体的体积。

二重积分的性质

性质 1： 如果 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$k$ 为常数，则 $kf(x,y)$ 在 $D$ 上可积，并且

$$\iint\limits_D kf(x,y)\mathrm{d}\sigma=k\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

即被积函数中的常数因子可以提到积分号外面。

性质 2： 如果 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，则 $f(x,y)\pm g(x,y)$ 在 $D$ 上可积，并且

$$\iint\limits_D [f(x,y)\pm g(x,y)]\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\pm\iint\limits_D g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

即函数代数和的二重积分等于每个函数的二重积分的代数和。

性质 3： 设有界闭区域 $D=D_1\cup D_2$，$D_1$ 与 $D_2$ 均为闭区域，且它们除边界外无公共点，如果 $f(x,y)$ 在 $D_1,D_2$ 上可积，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上也可积，并且

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_{D_1} f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint\limits_{D_2} f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

即二重积分对于积分区域具有可加性。

性质 4： 若 $\sigma$ 是有界闭区域 $D$ 的面积，则

$$\iint\limits_D\mathrm{d}\sigma=\sigma$$

性质 5： 如果 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，且 $f(x,y)\leq g(x,y)$，则

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq\iint\limits_D g(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

并且

$$\left|\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leq\iint\limits_D|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$$

估值定理： 设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，且 $M,m$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，当 $\sigma$ 是 $D$ 的面积时，有不等式

$$m\sigma\leq\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq M\sigma$$

二重积分的中值定理： 设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，$\sigma$ 是 $D$ 的面积，则 $\exists(\xi,\eta)\in D$，使得

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$$

证明：

由于 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，设其最小值为 $m$，最大值为 $M$，由估值定理可得

$$m\sigma\leq\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq M\sigma$$

同时除以 $\sigma$，得

$$m\leq\frac 1 \sigma\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leq M$$

由介值定理得，在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi,\eta)$，使得

$$f(\xi,\eta)=\frac 1 \sigma\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

于是

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\sigma$$

二重积分中值定理的几何意义：当 $f(x,y)\geq 0$ 时，以 $f(x,y)$ 为曲顶，$D$ 为底的曲顶柱体的体积必与以 $D$ 中某一点 $(\xi,\eta)$ 处的函数值 $f(\xi,\eta)$ 为高，$D$ 为底的平顶柱体的体积相等。

直角坐标系下的二重积分

我们称形如

$$D=\{(x,y)\mid \varphi_1(x)\leq y\leq\varphi_2(x),a\leq x\leq b\}$$

的闭区域为 $\bm x$ 型区域，其中 $\varphi_1(x),\varphi_2(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。如下图所示：

我们称形如

$$D=\{(x,y)\mid \psi_1(x)\leq y\leq\psi_2(x),c\leq y\leq d\}$$

的闭区域为 $\bm y$ 型区域，其中 $\psi_1(x),\psi_2(x)$ 在 $[c,d]$ 上连续。如下图所示：

现有一以 $D$ 为底，以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积，其体积为 $\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma$.

设 $D$ 是 $x$ 型区域，在区间 $[a,b]$ 上任取一点 $x_0$，过点 $(x_0,0,0)$ 作平行于平面 $Oyz$ 的平面 $x=x_0$，将它截曲顶柱体的截面面积记为 $S(x_0)$，这个截面是以区间 $[\varphi_1(x_0),\varphi_2(x_0)]$ 为底，曲线 $z=f(x_0,y)$ 为曲边的曲边梯形，则

$$S(x_0)=\int_{\varphi_1(x_0)}^{\varphi_2(x_0)}f(x_0,y)\mathrm{d}y$$

体积可以表示为

$$V=\int_a^bS(x)\mathrm{d}x=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x_0)}^{\varphi_2(x_0)}f(x_0,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x$$

所以

$$\begin{aligned} \iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\int_a^b\left[\int_{\varphi_1(x_0)}^{\varphi_2(x_0)}f(x_0,y)\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x\\ &=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y \end{aligned}$$

这个公式成功将二重积分转化为了先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分（iterated integral）。

同理可得，当 $D$ 为 $y$ 型区域时，二重积分可转化为先对 $x$ 后对 $y$ 的累次积分：

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

当 $D$ 既不是 $x$ 型区域也不是 $y$ 型区域时，可以将 $D$ 化为除边界外无公共点的几个子区域，使得每个子区域都是 $x$ 型区域或 $y$ 型区域，分开积分后求和。

当 $D$ 既是 $x$ 型区域也是 $y$ 型区域时，可以随意选择一个适合的方法求解，此时显然有

$$\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$$

例：计算 $\displaystyle\iint\limits_D\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D$ 是由双曲线 $xy=1$，直线 $y=x$ 及 $x=2$ 围成的区域。

解：将 $D$ 看作 $y$ 型区域，用 $y=1$ 将 $D$ 分成 $D_1,D_2$，分别表示为

$$D_1:\quad\frac 1 y\leq x\leq 2,\quad \frac 1 2\leq y\leq 1\\ D_2:\quad y\leq x\leq 2,\quad 1\leq y\leq 2$$

则

$$\begin{aligned} \iint\limits_D\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\iint\limits_{D_1}\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint\limits_{D_2}\frac{x^2}{y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\int_{\frac 1 2}^1\frac 1 {y^2}\mathrm{d}y\int_{\frac 1 y}^2x^2\mathrm{d}x+\int_1^2\frac 1 {y^2}\mathrm{d}y\int_y^2x^2\mathrm{d}x\\ &=\frac 9 4 \end{aligned}$$

直角坐标系下二重积分的应用

变换累次积分的积分次序：

当原始累次积分难以求解时，可以考虑改变积分次序（即改变重积分的积分区域类型），转换为易于求解的累次积分。

例：计算 $\displaystyle\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{\sqrt x}\frac{\sin y}{y}\mathrm{d}y$.

解：积分区域为

$$D:\quad x\leq y\leq\sqrt x,\quad 0\leq x\leq 1$$

$$\begin{aligned} \int_0^1\mathrm{d}x\int_x^{\sqrt x}\frac{\sin y}{y}\mathrm{d}y&=\iint\limits_D\frac{\sin y}{y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=\int_0^1\mathrm{d}y\int_{y^2}^y\frac{\sin y}{y}\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1(1-y)\sin y\mathrm{d}y\\ &=1-\sin 1 \end{aligned}$$

将多个累次积分合为一个二重积分：

被积函数相同的累次积分可以通过转化为一个二重积分，并改变积分次序来简化计算。

例：计算 $\displaystyle\int_1^2\mathrm{d}x\int_{\sqrt x}^x\sin\frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y+\int_2^4\mathrm{d}x\int_{\sqrt x}^2\sin\frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y$.

解：令

$$D_1=\{(x,y)\mid\sqrt x\leq y\leq x,1\leq x\leq 2\},\\ D_2=\{(x,y)\mid\sqrt x\leq y\leq 2,2\leq x\leq 4\},\\ D=D_1+D_2=\{(x,y)\mid y\leq x\leq y^2,1\leq y\leq 2\}$$

于是，原式可以转化为

$$\begin{aligned} \iint\limits_D\sin\frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}y&=\int_1^2\mathrm{d}y\int_y^{y^2}\sin\frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}x\\ &=\int_1^2\frac{2y}{\pi}\mathrm{d}y\int_y^{y^2}\sin\frac{\pi x}{2y}\mathrm{d}\frac{\pi x}{2y}\\ &=\int_1^2\frac{2y}{\pi}\left(-\cos\frac{\pi x}{2y}\right)\bigg|_y^{y^2}\mathrm{d}y\\ &=-\frac 2 \pi\int_1^2y\cos\frac{\pi y}{2}\mathrm{d}y\\ &=-\frac 4 {\pi^2}\int_1^2y\mathrm{d}\sin\frac{\pi y}{2}\\ &=-\frac 4 {\pi^2}\left(y\sin\frac{\pi y}{2}\bigg|_1^2-\int_1^2\sin\frac{\pi y}{2}\mathrm{d}y\right)\\ &=-\frac 4 {\pi^2}\left(-1+\frac 2 \pi\cos\frac{\pi y}{2}\bigg|_1^2\right)\\ &=\frac 4 {\pi^3}(2+\pi) \end{aligned}$$

利用对称性求解二重积分：

若积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，则：

1. 若 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数，$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0$；
2. 若 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是偶函数，$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint\limits_{D_1} f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，其中 $D_1=D\cap\{x\geq 0\}$.

同理，若积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，则：

1. 若 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是奇函数，$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0$；
2. 若 $f(x,y)$ 关于 $y$ 是偶函数，$\displaystyle\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}\sigma=2\iint\limits_{D_2} f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，其中 $D_2=D\cap\{y\geq 0\}$.

二重积分的轮换对称性：

若把 $x$ 与 $y$ 对调后，积分区域 $D$ 不变（或称 $D$ 关于 $y=x$ 对称），则

$$\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_Df(y,x)\mathrm{d}\sigma$$

例：设 $D$ 由 $x=0,y=0,x+y=1$ 围成，计算 $\displaystyle\iint\limits_D\frac{af(x)+bf(y)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma$.

解：设

$$I=\iint\limits_D\frac{af(x)+bf(y)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_D\frac{af(y)+bf(x)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma$$

故

$$\begin{aligned} 2I&=\iint\limits_D\frac{af(x)+bf(y)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma+\iint\limits_D\frac{af(y)+bf(x)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma\\ &=\iint\limits_D(a+b)\mathrm{d}\sigma=\frac 1 2(a+b) \end{aligned}$$

所以

$$\iint\limits_D\frac{af(x)+bf(y)}{f(x)+f(y)}\mathrm{d}\sigma=\frac 1 4(a+b)$$

极坐标系下的二重积分

设 $D$ 是 $Oxy$ 面上的有界闭区域，它的面积可以表示为

$$\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}r\cdot(r\mathrm{d}\theta)=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

根据直角坐标与极坐标的关系，有

$$\begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases}$$

设 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则

$$\iint\limits_Df(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint\limits_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

设积分区域 $D$ 可以用极坐标表示为

$$D=\{(r,\theta)\mid r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta),\alpha\leq\theta\leq\beta\}$$

其中 $r_1(\theta),r_2(\theta)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续。

这种区域的特点是发自极点的任意一条射线 $\theta=\theta_0\ (\theta_0\in(\alpha,\theta))$ 与边界的交点不多于两点。

可将极坐标系下的二重积分化为先对 $r$ 后对 $\theta$ 的累次积分：

$$\iint\limits_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_\alpha^\beta\mathrm{d}\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r$$

当 $r_1(\theta)=0$ 时 $r=r_1(\theta)$ 退化为极点 $O$，积分下限 $r_1(\theta)$ 变为 0。

此时，若极点为 $D$ 的内点，如下图所示：

则累次积分可写为：

$$\iint\limits_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}r$$

其中，$r(\theta)$ 是 $D$ 的边界曲线方程。

极坐标系下二重积分的应用

将直角坐标转换为极坐标：

例：将直角坐标系下的二次积分化为极坐标形式下的二次积分，并计算积分值

$$I=\int_0^1\mathrm{d}x\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}(x^2+y^2)^{-\frac 3 2}\mathrm{d}y$$

解：在直角坐标系中，$I$ 的积分区域为

$$D=\{(x,y)\mid 1-x\leq y\leq \sqrt{1-x^2},0\leq x\leq 1\}$$

用极坐标表示为

$$D=\left\{(r,\theta)\bigg|\frac 1 {\sin\theta+\cos\theta}\leq r\leq 1,0\leq\theta\leq\frac \pi 2\right\}$$

则

$$\begin{aligned} I=\iint\limits_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+y^2)^{\frac 3 2}}&=\int_0^\frac\pi 2\mathrm{d}\theta\int_{\frac 1 {\sin\theta+\cos\theta}}^1\frac{r\mathrm{d}r}{r^3}\\ &=\int_0^{\frac \pi 2}\left(-\frac 1 r\right)_{\frac 1 {\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}\theta\\ &=\int_0^{\frac \pi 2}(\sin\theta+\cos\theta-1)\mathrm{d}\theta\\ &=2-\frac \pi 2 \end{aligned}$$

变换累次积分的积分次序：

例：交换积分次序 $\displaystyle I=\int_{-\frac \pi 4}^{\frac \pi 2}\mathrm{d}\theta\int_0^{2a\cos\theta}f(r,\theta)\mathrm{d}r$.

解：

$$I=\int_0^{\sqrt 2 a}\mathrm{d}r\int_{-\frac \pi 4}^{\arccos\frac r {2a}}f(r,\theta)\mathrm{d}\theta+\int_{\sqrt 2 a}^{2a}\mathrm{d}r\int_{-\arccos\frac r {2a}}^{\arccos\frac r {2a}}f(r,\theta)\mathrm{d}\theta$$

概率积分（高斯积分）：

$$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi} 2$$

解：因为 $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2e^{-x^2}=0$，所以概率积分收敛。

记

$$I(a)=\iint\limits_{D_a}e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^\frac\pi 2\mathrm{d}\theta\int_0^ae^{-r^2}r\mathrm{d}r=\frac\pi 4\left(1-e^{-a^2}\right)\quad (a>0)$$

其中

$$D_a=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq a^2,x\geq 0, y\geq 0\}\\ K_a=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq a,0\leq y\leq a\}$$

显然有 $D_a\subset K_a\subset D_{\sqrt 2 a}$，则

$$I(a)<\iint\limits_{K_a}e^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y<I(\sqrt 2 a)$$

而

$$\iint\limits_{K_a}e^{-x^2-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_0^ae^{-x^2}\mathrm{d}x\int_0^ae^{-y^2}\mathrm{d}y=\left(\int_0^ae^{-x^2}\mathrm{d}x\right)^2$$

因此，有

$$\frac\pi 4\left(1-e^{-a^2}\right)<\left(\int_0^ae^{-x^2}\mathrm{d}x\right)^2<\frac\pi 4\left(1-e^{-2a^2}\right)$$

令 $a\to+\infty$，上式两端极限值为 $\dfrac\pi 4$，从而

$$\left(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}x\right)^2=\frac\pi 4$$

可得概率积分的值为 $\dfrac{\sqrt\pi} 2$.

二重积分的换元法

设 $f(x,y)$ 在 $Oxy$ 面上的有界闭区域 $D$ 内连续，作变换

$$\begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v), \end{cases}\quad(u,v)\in D'$$

其中 $D'$ 是 $O'uv$ 平面上的有界闭区域，$x(u,v),y(u,v)$ 在 $D'$ 上连续。若在 $D'$ 上有雅可比行列式

$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\neq 0$$

则有二重积分的换元公式：

$$\iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

如果雅可比行列式 $J$ 只是在 $D'$ 内个别点上，或在一条曲线上为零，则可以证明换元公式仍然成立。

例：求椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ 围成的椭球体的体积。

解：设所求体积为 $V$，椭球体在第一卦限部分的体积为 $V_1$，由对称性 $V=8V_1$，上半椭球面方程为 $z=c\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}}$，则

$$V=8V_1=8\iint\limits_Dc\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

积分区域 $D=\{(x,y)\mid\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\leq 1,x\geq 0,y\geq 0\}$.

作如下坐标变换

$$\begin{cases} x=ar\cos\theta,\\ y=br\sin\theta \end{cases}$$

在此变换下 $D$ 对应的 $D'$ 为

$$D'=\{(r,\theta)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq\theta\leq\frac\pi 2\}$$

计算雅可比行列式

$$|J|=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right|=abr$$

于是

$$V=8\iint\limits_{D'}c\sqrt{1-r^2}abr\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=8\int_0^{\frac\pi 2}\mathrm{d}\theta\int_0^1abc\sqrt{1-r^2}r\mathrm{d}r=\frac 4 3 \pi abc$$

三重积分

将积分区域从面积拓展至体积后，我们就从二重积分拓展到了三重积分。

设 $f(x,y,z)$ 是有界闭区域 $\varOmega\subset\R^3$ 上的有界函数，将 $\varOmega$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域

$$T=\{\Delta V_1.\Delta V_2,\cdots,\Delta V_n\}$$

其中 $\Delta V_i$ 既表示第 $i$ 个小区域，同时也表示它的体积，其中任意两个小区域 $\Delta V_i$ 与 $\Delta V_j$ 除边界外无公共点。任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in\Delta V_i$，作和式

$$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

以 $d_i$ 表示 $\Delta V_i$ 的直径，则分割的细度表示为

$$||T||=\max\limits_{1\leq i\leq n}\{d_i\}$$

如果当 $||T||\to 0$ 时，和式的极限

$$\lim_{||T||\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

存在，并且这个极限与区域的分割方法及点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 的取法无关，则称其为函数 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\varOmega$ 上的三重积分（triple integral），记作

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=\lim_{||T||\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

在直角坐标系中，体积元素 $\mathrm{d}\sigma=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$，则三重积分可以记作

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$

若函数 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\varOmega$ 上连续，则其在 $\varOmega$ 上可积。

三重积分有和二重积分类似的性质，并且满足

$$\iiint\limits_\varOmega\mathrm{d}V=V(\varOmega)$$

三重积分的几何意义： 可以将三重积分理解为空间物体的质量，此时积分函数就能被看作是物体的密度函数。

三重积分的中值定理： 设函数 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\varOmega$ 上连续，$V$ 是 $\varOmega$ 的体积，则 $\exists(\xi,\eta,\zeta)\in\varOmega$，使得

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=f(\xi,\eta,\zeta)V$$

直角坐标系下的三重积分

对于积分区域 $\varOmega$，如果可以将其表示为

$$\varOmega=\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y),(x,y)\in D_{xy}\}$$

则称 $\varOmega$ 是 $\bm{xy}$ 型区域，其中 $D_{xy}$ 是 $\varOmega$ 在 $Oxy$ 坐标面上的投影域，$z_1(x,y),z_2(x,y)$ 在 $D_{xy}$ 上连续。

类似地，可以定义 $\bm{xz}$ 型区域和 $\bm{yz}$ 型区域。

法一：将三重积分化为先定积分后二重积分（投影法）

假设被积函数 $f(x,y,z)$ 在 $xy$ 型区域 $\varOmega$ 上连续，在区间 $[z_1(x,y),z_2(x,y)]$ 上对 $f(x,y,z)$ 进行定积分计算，得到关于 $x,y$ 的函数，记作 $F(x,y)$，于是

$$F(x,y)=\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

可以证明 $F(x,y)$ 在 $D_{xy}$ 上连续，且有

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=\iint\limits_{D_{xy}}F(x,y)\mathrm{d}\sigma$$

这样就将三重积分降为了二重积分，即

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=\iint\limits_{D_{xy}}\left(\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}\sigma$$

同理可得 $xz$ 型区域和 $yz$ 型区域下的公式：

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=\iint\limits_{D_{xz}}\left(\int_{z_1(x,z)}^{z_2(x,z)}f(x,y,z)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}\sigma\\ \iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}V=\iint\limits_{D_{yz}}\left(\int_{z_1(y,z)}^{z_2(y,z)}f(x,y,z)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}\sigma$$

法二：将三重积分化为累次积分

假设积分区域 $\varOmega$ 是 $xy$ 型区域，即

$$\varOmega=\{(x,y,z)\mid z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y),(x,y)\in D\}$$

当 $D$ 是 $Oxy$ 面上的 $x$ 型区域，即

$$D=\{(x,y)\mid y_1(x)\leq y\leq y_2(x),a\leq x\leq b\}$$

时，有

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

当 $D$ 是 $Oxy$ 面上的 $y$ 型区域，即

$$D=\{(x,y)\mid x_1(x)\leq x\leq x_2(x),c\leq y\leq d\}$$

时，有

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_c^d\mathrm{d}y\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}\mathrm{d}x\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z$$

法三：将三重积分化为先二重积分后定积分（切片法）

设 $D_z$ 是平行于 $Oxy$ 的平面截 $\varOmega$ 所得到的平面区域，如果积分区域 $\varOmega$ 可以表示为

$$\varOmega=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D_z,p\leq z\leq q\}$$

并且当二重积分 $\displaystyle\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 比较容易计算时，可以使用将三重积分化为先二重积分后定积分的方法计算，即

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_p^q\mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

三重积分的换元法

设 $f(x,y,z)$ 在 $Oxyz$ 坐标系中的有界闭区域 $\varOmega$ 内连续，作变换

$$\begin{cases} x=x(u,v,w),\\ y=y(u,v,w),\\ z=z(u,v,w) \end{cases}\quad(u,v,w)\in \varOmega'$$

其中 $\varOmega'$ 是 $O'uvw$ 坐标系中的有界闭区域，$x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)$ 在 $\varOmega'$ 上连续。若在 $\varOmega'$ 上有雅可比行列式

$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}&\dfrac{\partial x}{\partial v}&\dfrac{\partial x}{\partial w}\\\dfrac{\partial y}{\partial u}&\dfrac{\partial y}{\partial v}&\dfrac{\partial y}{\partial w}\\\dfrac{\partial z}{\partial u}&\dfrac{\partial z}{\partial v}&\dfrac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}\neq 0$$

则有三重积分的换元公式：

$$\iiint\limits_D f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{D'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w$$

柱面坐标系下的三重积分

柱面坐标变换：

$$\begin{cases} x=r\cos\theta,&0\leq r<+\infty\\ y=r\sin\theta,&0\leq\theta\leq 2\pi\\ z=z,&-\infty<z<+\infty \end{cases}$$

直角坐标系中的点 $M(x,y,z)$ 可以用柱面坐标系中的 $(r,\theta,z)$ 来表示，称 $(r,\theta,z)$ 为点 $M$ 的柱面坐标。

在柱面坐标变换下，雅可比行列式为

$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{vmatrix}=r$$

若 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\varOmega$ 上连续，且在变换下变为 $\varOmega'$，则有

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\iiint\limits_{\varOmega'}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\mathrm dr\mathrm d\theta\mathrm dz$$

例：计算 $\displaystyle\iiint\limits_\varOmega\left(1+x^2+y^z\right)z\mathrm dV$，其中 $\varOmega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=1$ 围成的闭区域。

解：在柱面坐标系下 $\varOmega$ 可表示为

$$\varOmega=\{(r,\theta,z)\mid 0\leq r\leq 1,0\leq\theta\leq 2\pi,r\leq z\leq 1\}$$

于是

$$\begin{aligned} \iiint\limits_\varOmega\left(1+x^2+y^2\right)z\mathrm dV&=\iiint\limits_\varOmega\left(1+r^2\right)zr\mathrm dr\mathrm d\theta\mathrm dz\\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r\left(1+r^2\right)\mathrm dr\int_r^1z\mathrm dz\\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1\frac 1 2r\left(1+r^2\right)\left(1-r^2\right)\mathrm dr\\ &=2\pi\cdot\frac 1 2\left(\frac 1 2r^2-\frac 1 6r^6\right)\bigg|_0^1\\ &=\frac\pi 3 \end{aligned}$$

球面坐标系下的三重积分

球面坐标变换：

$$\begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta,&0\leq r<+\infty\\ y=r\sin\varphi\sin\theta,&0\leq\theta\leq 2\pi\\ z=r\cos\varphi,&0\leq\varphi\leq\pi \end{cases}$$

空间中的点 $M$ 也可以用 $r,\theta,\varphi$ 来表示，我们称 $(r,\theta,\varphi)$ 为点 $M$ 的球面坐标。

在球面坐标变换下，雅可比行列式为

$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=\begin{vmatrix}\sin\varphi\cos\theta&-r\sin\varphi\sin\theta&r\cos\varphi\cos\theta\\\sin\varphi\sin\theta&r\sin\varphi\cos\theta&r\cos\varphi\sin\theta\\\cos\varphi&0&-r\sin\varphi\end{vmatrix}=-r^2\sin\varphi$$

若 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\varOmega$ 上连续，且在变换下变为 $\varOmega'$，则有

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\iiint\limits_{\varOmega'}F(r,\theta,\varphi)r^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\theta\mathrm d\varphi$$

其中 $F(r,\theta,\varphi)=f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)$.

例：计算 $\displaystyle\iiint\limits_\varOmega\left(x^2+x^2+y^z\right)\mathrm dV$，其中 $\varOmega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 围成的闭区域。

解：在球面坐标系下 $\varOmega$ 可表示为

$$\varOmega=\{(r,\theta,\varphi)\mid 0\leq r\leq a,0\leq\theta\leq 2\pi,0\leq\varphi\leq\frac\pi 4\}$$

于是

$$\begin{aligned} \iiint\limits_\varOmega\left(x^2+x^2+y^z\right)\mathrm dV&=\iiint\limits_\varOmega r^2\cdot r^2\sin\varphi\mathrm dr\mathrm d\theta\mathrm d\varphi\\ &=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^{\frac\pi 4}\sin\varphi\mathrm d\varphi\int_0^a r^4\mathrm dr\\ &=\frac 2 5\pi a^5\left(1-\frac{\sqrt{2}}2\right) \end{aligned}$$

三重积分的对称性

如果 $\varOmega$ 关于 $Oxy$ 平面对称，则

1. 若 $f(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上关于 $z$ 是奇函数，$\displaystyle\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm dV=0$.
2. 若 $f(x,y,z)$ 在 $\varOmega$ 上关于 $z$ 是偶函数，$\displaystyle\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm dV=2\iiint\limits_{\varOmega_1} f(x,y,z)\mathrm dV$，其中 $\varOmega_1$ 为 $\varOmega$ 在 $Oxy$ 平面的上半部分区域。

同理可得关于 $Oxz,Oyz$ 平面的对称性。

例：计算 $\displaystyle\iiint\limits_\varOmega e^{|z|}\mathrm dV$，其中 $\varOmega$ 是由球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 围成的区域。

解：设 $\varOmega_1$ 为 $\varOmega$ 在 $Oxy$ 平面的上半部分区域。

$$D_{xy}=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 1-z^2\}$$

则

$$\begin{aligned}\iiint\limits_\varOmega e^{|z|}\mathrm dV&=2\iiint\limits_{\varOmega_1}e^{|z|}\mathrm dV=2\int_0^1e^z\mathrm dz\iint_{D_{xy}}\mathrm d\sigma\\ &=2\int_0^1e^z\pi\left(1-z^2\right)\mathrm dz\\ &=2\pi\left(e^z\big|_0^1-\int_0^1 z^2\mathrm de^z\right)\\ &=2\pi\left[(e-1)-z^2e^z\big|_0^1+\int_0^1 2ze^z\mathrm dz\right]\\ &=2\pi\left[-1+2\left(ze^z\big|_0^1-\int_0^1 e^z\mathrm dz\right)\right]\\ &=2\pi\left[-1+2\left(e-e^z\big|_0^1\right)\right]=2\pi \end{aligned}$$

轮换对称性： 如果 $\varOmega$ 的边界曲线方程 $F(x,y,z)=0$ 满足 $F(x,y,z)=F(y,z,x)=F(z,x,y)$，则称 $\varOmega$ 关于 $x,y,z$ 有轮换对称性，此时

$$\iiint\limits_\varOmega f(x,y,z)\mathrm dV=\iiint\limits_\varOmega f(y,z,x)\mathrm dV=\iiint\limits_\varOmega f(z,x,y)\mathrm dV$$

例：

$$\begin{aligned} \iiint\limits_\varOmega x^2\mathrm dV&=\frac 1 3\iiint\limits_\varOmega\left(x^2+y^2+z^2\right)\mathrm dV\\ &=\frac 1 3\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\mathrm d\varphi\int_0^1r^4\mathrm dr\\ &=\frac 1 3\cdot 2\pi\cdot 2\cdot\frac 1 5=\frac{4\pi}{15} \end{aligned}$$

含参变量的积分

积分限为常数的含参变量的积分：

记 $D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,c\leq y\leq d\}$，当 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续时，对任意 $y\in[c,d]$，存在定积分

$$I(y)=\int_a^b f(x,y)\mathrm dx$$

确定了以 $y$ 为自变量的函数 $I(y)$，将此积分称为含参变量 $\bm y$ 的积分。

同理可得含参变量 $\bm x$ 的积分：

$$I(x)=\int_c^d f(x,y)\mathrm dy$$

定理： 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\displaystyle I(y)=\int_a^b f(x,y)\mathrm dx$ 在 $[c,d]$ 上连续。

积分限含参变量的积分：

形如

$$F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm dx$$

的含参变量积分，其特点是不但被积函数 $f(x,y)$ 含参变量，而且积分限也含参变量 $y$.

定理： 若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，$a(y),b(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续，且 $a\leq a(y)\leq b,a\leq b(y)\leq b$，则 $F(y)$ 在 $[c,d]$ 上连续。

曲线积分

第一类曲线积分的概念与性质

设 $f(x, y)$ 是定义在 $Oxy$ 面上的有界光滑曲线 $L$ 上的有界函数，令 $L$ 的两个端点为 $A, B$. 用 $L$ 上 $n + 1$ 个不同的点 $A = M_0, M_1, \cdots, M_n = B$ 将 $L$ 分成 $n$ 个小弧段，其中第 $i$ 段弧 $\overset{\LARGE\frown}{M_{i - 1}M_i}$ 的长度记作 $\Delta s_i$. 取 $(\xi_i, \eta_i) \in \overset{\LARGE\frown}{M_{i - 1}M_i}\ (i = 1, 2, \cdots, n)$，作和式

$$\sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i){\Delta s_i}$$

记 $d = \max\limits_{i \leq i \leq n}\{ \Delta s_i \}$，若极限

$$\lim_{d \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i){\Delta s_i}$$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在曲线 $L$ 上的第一类曲线积分，记作

$$\int_L f(x, y){\mathrm ds}$$

即

$$\int_L f(x, y){\mathrm ds} = \lim_{d \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i){\Delta s_i}$$

称 $f(x, y)$ 为被积函数，$L$ 为积分曲线，$\mathrm ds$ 为弧长元素。

若 $L$ 为闭曲线，则曲线积分 $\displaystyle\int_L f(x, y){\mathrm ds}$ 通常记作 $\displaystyle\oint_L f(x, y){\mathrm ds}$.

第一类曲线积分的性质： 和定积分的性质类似

• 线性性质：

$$\int_L[k_1 f_1(x, y) + k_2 f_2(x, y)]\mathrm{d}s = k_1 \int_L f_1(x, y)\mathrm{d}s + k_2 \int_L f_2(x, y)\mathrm{d}s$$

• 对积分曲线的可加性质（$L$ 由 $L_1$ 和 $L_2$ 连接而成）：

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \int_{L_1} f(x, y)\mathrm{d}s + \int_{L_2} f(x, y)\mathrm{d}s$$

• 当 $f(x, y) \equiv 1$ 时，$\displaystyle\int_L{\mathrm ds}$ 的值即为曲线 $L$ 的长度。

• 设在 $L$ 上，$f(x, y) \leq g(x, y)$，则

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s \leq \int_L g(x, y)\mathrm{d}s$$

• 特别地，有

$$\left| \int_L f(x, y)\mathrm{d}s \right| \leq \int_L |f(x, y)|\mathrm{d}s$$

第一类曲线积分的应用： 计算旋转体侧面积：

$$S = \int_L 2\pi f(x)\mathrm{d}s$$

第一类曲线积分的计算

基本方法： 将积分弧段参数化后把曲线积分化为定积分。

1. 曲线由参数方程表示： $L$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{cases} (\alpha \leq t \leq \beta)$. 若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上都有一阶连续导数，且 $[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2 \neq 0$，则曲线积分 $\int_L f(x, y)\mathrm{d}s$ 存在，且

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t))\sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2}\mathrm{d}t$$

特殊的参数方程：当 $\begin{cases} x = x\\ y = \psi(x) \end{cases} (x_0 \leq x \leq x_1)$ 时，有

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \int_{x_0}^{x_1} f(x, \psi(x))\sqrt{1 + [\psi'(x)]^2}\mathrm{d}x$$

当 $\begin{cases} x = \varphi(y)\\ y = y \end{cases} (y_0 \leq y \leq y_1)$ 时，和上述情形类似，有

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \int_{y_0}^{y_1} f(\varphi(y), y)\sqrt{[\varphi'(y)]^2 + 1}\mathrm{d}x$$

2. 曲线由极坐标方程表示： $L$ 的极坐标方程为 $r = r(\theta)\ (\alpha \leq \theta \leq \beta)$，则有

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta)\sqrt{[r(\theta)]^2 + [r'(\theta)]^2}\mathrm{d}\theta$$

3. 空间曲线的参数方程： $\varGamma$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t)\\ z = z(t) \end{cases} (\alpha \leq t \leq \beta)$. 若 $x(t)$，$y(t)$ 和 $z(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上都有一阶连续导数，且 $x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t) \neq 0$，则有

$$\int_\varGamma f(x, y, z)\mathrm{d}s = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t))\sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)}\mathrm{d}t$$

利用对称性简化计算： 若平面光滑曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称，则

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \begin{cases} \displaystyle 2\int_{L(y \geq 0)} f(x, y)\mathrm{d}s, & f(-x, y) = f(x, y),\\ 0, & f(-x, y) = -f(x, y). \end{cases}$$

若平面光滑曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称，则

$$\int_L f(x, y)\mathrm{d}s = \begin{cases} \displaystyle 2\int_{L(x \geq 0)} f(x, y)\mathrm{d}s, & f(x, -y) = f(x, y),\\ 0, & f(x, -y) = -f(x, y). \end{cases}$$

设空间光滑曲线 $\varGamma$ 的方程为 $\begin{cases} F(x, y, z) = 0\\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$，如果满足

$$F(x, y, z) = F(y, z, x) = F(z, x, y),\\ G(x, y, z) = G(y, z, x) = G(z, x, y).$$

则称 $\varGamma$ 具有轮换对称性，此时

$$\begin{aligned} \int_\varGamma f(x, y, z)\mathrm{d}s &= \int_\varGamma f(y, z, x)\mathrm{d}s = \int_\varGamma f(z, x, y)\mathrm{d}s\\ &= \frac{1}{3}\int_\varGamma[f(x, y, z) + f(y, z, x) + f(z, x, y)]\mathrm{d}s \end{aligned}$$

第二类曲线积分的概念与性质

设 $L$ 是 $Oxy$ 面上从起点 $A$ 到终点 $B$ 的一条有向光滑曲线，$P(x, y), Q(x, y)$ 上有界。用分点

$$A = M_0(x_0, y_0), M_1(x_1, y_1), M_2(x_2, y_2), \cdots, M_n(x_n, y_n) = B$$

将有向曲线 $L$ 分成 $n$ 个有向小弧段 $\overset{\LARGE\frown}{M_{i - 1}M_i}\ (i = 1, 2, \cdots, n)$，$\overset{\LARGE\frown}{M_{i - 1}M_i}$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的投影分别为 $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$ 和 $\Delta y_i = y_i - y_{i - 1}$. 在 $\overset{\LARGE\frown}{M_{i - 1}M_i}$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，作和式

$$\sum_{i = 1}^n [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i]$$

当各弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限存在，且与曲线 $L$ 的分法以及点 $(\xi_i, \eta_i)$ 的取法无关，称该极限为向量值函数

$$\bm{A}(x, y) = P(x, y)\bm{i} + Q(x, y)\bm{j}$$

在有向曲线 $L$ 上的第二类曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记作

$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i = 1}^n [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i]$$

称 $P(x, y), Q(x, y)$ 为被积函数，$L$ 为积分曲线。

$\displaystyle\int_L P(x, y)\mathrm{d}x$ 称为函数 $P(x, y)$ 在有向曲线 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，$\displaystyle\int_L Q(x, y)\mathrm{d}y$ 称为函数 $Q(x, y)$ 在有向曲线 $L$ 上对坐标 $y$ 的曲线积分。

当积分曲线 $L$ 是一条封闭曲线时，积分 $\displaystyle\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ 通常记作 $\displaystyle\oint_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$.

第二类曲线积分的物理意义： 质点受到变力 $\bm{F}(x, y)$ 的作用，沿有向光滑曲线 $L$ 从点 $A$ 移动到点 $B$，令向量值函数 $\bm{F}(x, y) = P(x, y)\bm{i} + Q(x, y)\bm{j}$，且 $\mathrm{d}\bm{r} = \mathrm{d}x\bm{i} + \mathrm{d}y\bm{j}$，则 $\bm{F}$ 所做的功可以表示为

$$W = \int_L \bm{F}(x, y) \cdot \mathrm{d}\bm{r} = \int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$

第二类曲线积分的性质：

• 设 $L$ 是有向光滑曲线，$-L$ 是与 $L$ 方向相反的有向光滑曲线，则

$$\int_{-L} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = -\int_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$$

• 如果有向光滑曲线 $L$ 分成方向一致的两条曲线 $L_1$ 和 $L_2$，则

$$\int_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \int_{L_1} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + \int_{L_2} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$$

两类曲线积分之间的关系： 设 $\varGamma$ 是空间有向光滑曲线，其长度为 $l$，取弧长 $s$ 为参数，设 $\varGamma$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = x(s)\\ y = y(s)\\ z = z(s) \end{cases} (0 \leq s \leq l)$. 在曲线 $\varGamma$ 上任取一点 $M(x, y, z)$，此处的切向量为

$$\bm{s} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}, \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s} \right)$$

于是可得曲线 $\varGamma$ 在点 $M$ 处的切线 $MS$ 的方向余弦为

$$\begin{cases} \cos\alpha = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\\ \cos\beta = \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\\ \cos\gamma = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}s}\\ \end{cases}$$

可以将第二类曲线积分转化为第一类曲线积分：

$$\int_\varGamma P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z = \int_\varGamma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\mathrm{d}s$$

其中 $P, Q, R, \alpha, \beta, \gamma$ 都是曲线 $\varGamma$ 上关于点 $(x, y, z)$ 的函数。

第二类曲线积分的计算

曲线由参数方程表示： 设 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在有向曲线 $L$ 上有定义且连续，$L$ 的参数方程为 $\begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t). \end{cases}$ 当参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x, y)$ 从 $L$ 的起点 $A$ 沿曲线运动到终点 $B$. 若 $\varphi(t)$ 和 $\psi(t)$ 在以 $\alpha$ 和 $\beta$ 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 $[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2 \neq 0$，则曲线积分 $\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ 存在，且

$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \int_\alpha^\beta[P(\varphi(t), \psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t), \psi(t))\psi'(t)]\mathrm{d}t$$

需要注意的是，此处的下限 $\alpha$ 对应 $L$ 的起点，上限 $\beta$ 对应 $L$ 的终点，与第一类曲面积分不同，$\alpha$ 不一定小于 $\beta$.

特殊的参数方程：当 $\begin{cases} x : a \to b\\ y = \psi(x) \end{cases}$ 时，有

$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \int_a^b[P(x, \psi(x)) + Q(x, \psi(x))\psi'(x)]\mathrm{d}x$$

当 $\begin{cases} x = \varphi(y)\\ y : c \to d \end{cases}$ 时，和上述情形类似，有

$$\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = \int_a^b[P(\varphi(y), y)\varphi'(y) + Q(\varphi(y), y)]\mathrm{d}y$$

空间曲线的参数方程：

$$\begin{aligned} & \int_L P(x, y, z)\mathrm{d}x + Q(x, y, z)\mathrm{d}y + R(x, y, z)\mathrm{d}z\\ = & \int_\alpha^\beta[P(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y'(t)\\ &+ R(x(t), y(t), z(t))z'(t)]\mathrm{d}t \end{aligned}$$

格林公式

格林（Green）定理： 设平面闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，若函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\iint\limits_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \oint_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$$

其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线，计算反向边界时需要加上负号。

对于平面区域 $D$，我们规定其边界 $L$ 的正向为：当人沿着 $L$ 的方向行走时，邻近处的 $D$ 始终位于他的左侧。

特别地，在格林公式中，令 $P = -y, Q = x$，则可得到一个利用曲线积分计算平面区域的面积公式

$$D = \iint\limits_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\oint_L x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x$$

无法直接使用格林公式的情形：

修补法：将一条弧补成完整的闭合曲线。

例：计算曲线积分 $\displaystyle\int_L (x^2 + 1 - e^y\sin{x})\mathrm{d}y - e^y\cos{x}\mathrm{d}x$，其中 $L$ 为半圆 $x = \sqrt{1 - y^2}$ 上从点 $A(0, -1)$ 到点 $B(0, 1)$ 的一段弧。

解：作线段 $BA$，取 $C + L + BA$ 构成的闭合曲线方向为正方向。

$$\int_L = \left( \int_L + \int_{BA} \right) - \int_{BA} = \oint_C + \int_{AB}$$

令 $P = -e^y\cos{x}, Q = x^2 + 1 - e^y\sin{x}$，则

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x - e^y\cos{x}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -\cos{x}e^y$$

所以 $\displaystyle\oint_C (x^2 + 1 - e^y\sin{x})\mathrm{d}y - e^y\cos{x}\mathrm{d}x$ 可以用格林公式转化为

$$\iint\limits_D 2x\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta \int_0^1 2r\cos{\theta} \cdot r\mathrm{d}r = \frac{4}{3}$$

又因为

$$\int_{AB} (x^2 + 1 - e^y\sin{x})\mathrm{d}y - e^y\cos{x}\mathrm{d}x = \int_{-1}^1 \mathrm{d}y = 2$$

所以原式等于 $\dfrac{4}{3} + 2 = \dfrac{10}{3}$.

挖洞法：结合给出的条件，使挖洞后的计算尽可能简单，避免奇点带来的麻烦。

例：计算曲面积分 $\displaystyle\oint_L \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2}$，其中 $L$ 是光滑的，不通过原点的正向闭曲线。

解：情形 1：闭曲线 $L$ 所围成的区域 $D$ 不包含原点。

令函数 $P = \dfrac{-y}{x^2 + y^2}, Q = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$，它们在区域 $D$ 上具有连续偏导数，且

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

所以由格林公式可得

$$\oint_L \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = 0$$

情形 2：闭曲线 $L$ 所围成的区域 $D$ 包含原点。

以原点为心，充分小整数 $r$ 为半径作一小圆周 $l$，设 $L$ 和 $l$ 所围成的区域为 $D_1$，$l$ 取正向。

$$\oint_L \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} + \oint_l \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = 0$$

所以

$$\oint_L \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = -\oint_l \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} = \frac{1}{r^2}\oint_{-l} x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x$$

由格林公式可得

$$\frac{1}{r^2}\oint_{-l} x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x = \frac{1}{r^2} \iint\limits_D 2\mathrm{d}\sigma = \dfrac{1}{r^2} 2 \pi r^2 = 2\pi$$

所以原式的结果为 $2\pi$.

曲线积分基本定理

平面曲线积分与路径无关的条件：

设 $L$ 是平面区域 $D$ 内一分段光滑曲线，如果曲线积分 $\displaystyle\int_L P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$ 只与 $L$ 的两个端点 $M_1, M_2$ 有关而与积分的路径（即 $L$）无关，即对于从 $M_1$ 到点 $M_2$ 的任意两条分段光滑曲线 $L_1, L_2$，都有

$$\int_{L_1} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y = \int_{L_2} P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y$$

则称该曲线积分在 $D$ 内与路径无关，否则称其与路径有关。

定理： 设 $D$ 是平面上的单连通域，如果函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则下列条件等价成立：

1. 沿 $D$ 内任意一条分段光滑的闭曲线 $L$，有

$$\oint_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y = 0$$

2. 曲线积分 $\displaystyle\int_L P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ 在 $D$ 内与路径无关，

3. $P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$ 是 $D$ 内某个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，即在 $D$ 内有

$$\mathrm{d}u(x, y) = P(x, y)\mathrm{d}x + Q(x, y)\mathrm{d}y$$

4. 对于 $D$ 内每点，$\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$ 恒成立。

例：若曲线积分 $\displaystyle\int_L\frac{x\mathrm{d}x - ay\mathrm{d}y}{x^2 + y^2 - 1}$ 在区域 $D = \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 < 1 \}$ 内与路径无关，求 $a$ 的值。

解：令 $P = \dfrac{x}{x^2 + y^2 - 1}, Q = \dfrac{-ay}{x^2 + y^2 - 1}$，则

$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2axy}{(x^2 + y^2 - 1)^2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2 - 1)^2}$$

因为积分与路径无关，所以 $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y}$，即

$$2axy = -2xy$$

所以 $a = -1$.

梯度定理： 设 $\bm{F}(x, y) = P(x, y)\bm{i} + Q(x, y)\bm{j}$ 是平面区域 $D$ 内的一个向量场，若 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 内连续，且存在函数 $f(x, y)$，使得

$$\bm{F} = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\bm{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\bm{j}$$

则曲线积分 $\displaystyle\int_L \bm{F} \cdot \mathrm{d}\bm{r}$ 在 $D$ 内与路径无关，且

$$\int_L \bm{F} \cdot \mathrm{d}\bm{r} = f(B) - f(A)$$

其中 $L$ 是在 $D$ 内以 $A$ 为起点，$B$ 为终点的任意分段光滑曲线。

曲面积分

第一类曲面积分

设 $f(x, y, z)$ 是定义在有界光滑曲面 $\varSigma$ 上的有界函数，将 $\varSigma$ 分割成 $n$ 片小曲面 $\Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_n$，同时 $\Delta S_i$ 也表示第 $i$ 片小曲面的面积，$\forall(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i\ (i = 1, 2, \cdots, n)$，作和式

$$\sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i$$

记 $d = \max\limits_{i \leq i \leq n}\{ d_i \}$，其中 $d_i$ 是 $\Delta S_i$ 的直径，如果极限

$$\lim_{d \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i$$

存在，则称此极限为函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\varSigma$ 上的第一类曲面积分，记作

$$\iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S$$

即

$$\iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S = \lim_{d \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i$$

称 $f(x, y, z)$ 为被积函数，$\varSigma$ 为积分曲面，$\mathrm{d}S$ 为面积元素。

若 $f(x, y, z)$ 在 $\varSigma$ 内连续，则 $\displaystyle\iint_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S$ 存在，其中 $\varSigma$ 为有界光滑曲面或分片光滑曲面。

如果 $\varSigma$ 是有界分片光滑闭曲面，即存在空间有界闭区域 $\varOmega$，使得 $\varSigma$ 恰好是 $\varOmega$ 的边界曲面，此时曲面积分 $\displaystyle\iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S$ 通常记作 $\displaystyle\oiint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S$.

第一类曲面积分的物理意义： 物质曲面的质量可以表示为

$$m = \iint\limits_\varSigma \rho(x, y, z)\mathrm{d}S$$

第一类曲面积分的计算：

若积分曲面 $\varSigma$ 由方程 $z = z(x, y)$ 给出，$\varSigma$ 在 $Oxy$ 面上的投影区域为 $D_{xy}$（$(x, y) \in D_{xy}$），函数 $z = z(x, y)$ 在 $D_{xy}$ 内具有一阶连续偏导数，被积函数 $f(x, y, z)$ 在 $\varSigma$ 上连续，则

$$\iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S = \iint\limits_{D_{xy}} f(x, y, z(x, y))\sqrt{1 + [z_x'(x, y)]^2 + [z_y'(x, y)]^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

类似地，当 $\varSigma$ 的方程为 $x = x(y, z)\ ((y, z) \in D_{yz})$ 或 $y = y(z, x)\ ((z, x) \in D_{zx})$，分别有

$$\iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S = \iint\limits_{D_{yz}} f(x(y, z), y, z)\sqrt{1 + [x_y'(y, z)]^2 + [x_z'(y, z)]^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ \iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S = \iint\limits_{D_{xz}} f(x, y(x, z), z)\sqrt{1 + [y_x'(x, z)]^2 + [y_z'(x, z)]^2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$$

如果积分曲面 $\varSigma$ 由参数方程

$$\begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{cases} \quad (u, v) \in D_{uv}$$

给出，其中 $x(u, v), y(u, v), z(u, v)$ 在 $D_{uv}$ 内具有一阶连续导数，则

$$\mathrm{d}S = \sqrt{\left[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right]^2 + \left[\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right]^2 + \left[\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right]^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ \begin{aligned} \iint\limits_\varSigma f(x, y, z)\mathrm{d}S &= \iint\limits_{D_{uv}} f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))\\ &\cdot \sqrt{\left[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right]^2 + \left[\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}\right]^2 + \left[\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}\right]^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v \end{aligned}$$

第二类曲面积分的概念与性质

曲面的侧： 设 $L$ 为 $\varSigma$ 上任一经过点 $M_0$ 且不超过 $\varSigma$ 边界的闭曲线，当动点 $M$ 从点 $M_0$ 出发沿 $L$ 连续移动，它的法线方向也连续地变动，最后当点 $M$ 沿 $L$ 回到点 $M_0$ 时，若点 $M$ 的法线方向仍与 $M_0$ 的法线方向一致，则称曲面 $\varSigma$ 为双侧曲面，否则称为单侧曲面。

取光滑曲面的法向量指向朝上的一侧为曲面的上侧，反之为曲面的下侧；取闭曲面的法向量指向朝外的一侧为曲面的外侧，反之为曲面的内侧。

设函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 是取定了侧的光滑有向曲面 $\varSigma$ 上的有界函数，将 $\varSigma$ 任意分成 $n$ 片小曲面 $\Delta\varSigma_i$，将其面积记作 $\Delta S_i$，$\Delta\varSigma_i$ 在 $Oyz$ 面，$Ozx$ 面和 $Oxy$ 面上的有符号的投影面积分别为 $(\Delta y \Delta z)_i$，$(\Delta y \Delta z)_i$ 和 $(\Delta x \Delta y)_i$. 在 $\Delta\varSigma_i$ 上任意取定一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$，并作和

$$\sum_{i = 1}^n[P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta y \Delta z)_i + Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta z \Delta x)_i + R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta x \Delta y)_i]$$

若当各小片曲面的直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限总存在，且与 $\varSigma$ 的分法以及点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 的取法无关，则称此极限为向量值函数

$$\bm{A}(x, y, z) = P(x, y, z)\bm{i} + Q(x, y, z)\bm{j} + R(x, y, z)\bm{k}$$

在有向曲面 $\varSigma$ 上的第二类曲面积分，也称为对坐标的曲面积分，记作

$$\begin{aligned} & \iint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ = & \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n[P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta y \Delta z)_i + Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta z \Delta x)_i + R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)(\Delta x \Delta y)_i] \end{aligned}$$

称 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 为被积函数，$\varSigma$ 为积分曲面。

函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\varSigma$ 上对坐标 $y, z$，对坐标 $z, x$，对坐标 $x, y$ 的曲面积分分别可以写成

$$\iint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z, \quad \iint\limits_\varSigma Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x, \quad \iint\limits_\varSigma R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

如果 $\varSigma$ 是闭曲面，则第二类曲面积分通常记作

$$\oiint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

第二类曲面积分的性质：

1. 积分曲面的可加性：设 $\varSigma$ 可分成 $\varSigma_1$ 和 $\varSigma_2$，则

$$\begin{aligned} & \iint\limits_\varSigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ = & \iint\limits_{\varSigma_1} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y + \iint\limits_{\varSigma_2} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

2. 设 $-\varSigma$ 表示与 $\varSigma$ 取相反侧的有向曲面，则

$$\iint\limits_\varSigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\iint\limits_{-\varSigma} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

两类曲面积分之间的关系： 设 $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 是曲面 $\varSigma$ 在点 $M(x, y, z)$ 处指定侧的法向量的方向余弦，则有

$$\iint\limits_\varSigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_\varSigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\mathrm{d}S$$

第二类曲面积分的计算

分面投影法：

设函数 $R(x, y, z)$ 在取定侧的光滑有向曲面 $\varSigma$ 内连续，其方程为 $z = z(x, y),\ (x, y) \in D_{xy}$，其中 $D_{xy}$ 是 $\varSigma$ 在 $Oxy$ 面上的投影域，则

$$\iint\limits_\varSigma R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \pm\iint\limits_{D_{xy}} R(x, y, z(x, y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

其中当 $\varSigma$ 为上侧时 $\cos\gamma > 0$，取正号；当当 $\varSigma$ 为下侧时 $\cos\gamma < 0$，取负号。

类似地，当 $\varSigma$ 的方程为 $x = x(y, z)\ ((y, z) \in D_{yz})$ 或 $y = y(z, x)\ ((z, x) \in D_{zx})$ 时，$D_{yz}$ 和 $D_{zx}$ 分别是 $\varSigma$ 在 $Oyz$ 面和 $Ozx$ 面上的投影域，则

$$\iint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \pm\iint\limits_{D_{yz}} P(x(y, z), y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z\\ \iint\limits_\varSigma Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x = \pm\iint\limits_{D_{zx}} Q(x, y(z, x), )\mathrm{d}z\mathrm{d}x$$

第二类曲面积分为 0 的三种特殊情况：

• 当曲面 $\varSigma$ 垂直于 $Oxy$ 面时，$\displaystyle\iint\limits_\varSigma R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0$；
• 当曲面 $\varSigma$ 垂直于 $Oyz$ 面时，$\displaystyle\iint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z = 0$；
• 当曲面 $\varSigma$ 垂直于 $Ozx$ 面时，$\displaystyle\iint\limits_\varSigma Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x = 0$.

合一投影法：

如果 $\varSigma$ 的方程为 $z = z(x, y),\ (x, y) \in D_{xy}$，其中 $D_{xy}$ 是 $\varSigma$ 在 $Oxy$ 面上的投影域，函数 $P, Q, R$ 在 $\varSigma$ 上连续，则

$$\begin{aligned} & \iint\limits_\varSigma P(x, y, z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q(x, y, z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R(x, y, z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ = & \pm\iint\limits_{D_{xy}} \{ P[x, y, z(x, y)][-z_x(x, y)] + Q[x, y, z(x, y)][-z_y(x, y)]\\ &+ R[x, y, z(x, y)] \cdot 1 \}\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

当 $\varSigma$ 取上侧时，积分取正号；当 $\varSigma$ 取下侧时，积分取符号。

高斯公式与散度

高斯（Gauss）公式： 设空间闭区域 $\varOmega$ 由分片光滑的曲面 $\varSigma$ 所围成，函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\varOmega$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\iiint\limits_\varOmega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)\mathrm{d}V = \oiint\limits_\varSigma P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

或

$$\iiint\limits_\varOmega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)\mathrm{d}V = \oiint\limits_\varSigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)\mathrm{d}S$$

其中 $\varSigma$ 是 $\varOmega$ 的整个边界曲面的外侧，$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 是 $\varSigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。

散度（divergence）： 设向量场

$$\bm{A}(x, y, z) = \bm{P}(x, y, z)\bm{i} + \bm{Q}(x, y, z)\bm{j} + \bm{R}(x, y, z)\bm{k}$$

其中函数 $P, Q, R$ 都具有一阶连续偏导数，$\varSigma$ 是场内一有向曲面，$\bm{n}$ 是 $\sum$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量，则积分

$$\iint\limits_\varSigma \bm{A} \cdot \bm{n}\mathrm{d}S$$

称为向量场 $\bm{A}$ 通过曲面 $\varSigma$ 向着指定侧的通量（flux）。向量场 $\bm{A}$ 的散度为

$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

记作 $\mathrm{div}\bm{A}$，利用向量微分算子 $\nabla = (\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial}{\partial y} + \dfrac{\partial}{\partial z})$，$\bm{A}$ 的散度也可以被表示为

$$\mathrm{div}\bm{A} = \nabla\cdot\bm{A}$$

高斯公式可以用散度来定义：

$$\oiint\limits_\varSigma \bm{A} \cdot \mathrm{d}\bm{S} = \iiint\limits_\varOmega \mathrm{div}\bm{A}\mathrm{d}V$$

斯托克斯公式与旋度

斯托克斯公式可以用于转换第二类曲线积分和第二类曲面积分。

斯托克斯（Stokes）公式： 设 $\varGamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线，$\varSigma$ 是以 $\varGamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面，$\varGamma$ 的正向与 $\varSigma$ 的侧符合右手法则，函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在包含曲面 $\varSigma$ 上（连同边界 $\varGamma$）具有一阶连续偏导数，则

$$\begin{aligned} & \oint_\varGamma P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z\\ = & \iint\limits_\varSigma \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$$

右手法则：当右手除拇指外的四指沿 $\varGamma$ 的绕行方向时，拇指所指向的方向与 $\varSigma$ 上法向量的指向相同，此时称 $\varGamma$ 是有向曲面 $\varSigma$ 的正向边界曲线。

斯托克斯公式可以被表示为行列式的形式：

$$\begin{aligned} & \oint_\varGamma P\mathrm{d}x + Q\mathrm{d}y + R\mathrm{d}z\\ = & \iint\limits_\varSigma \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\\ = & \iint\limits_\varSigma \begin{vmatrix} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\mathrm{d}S \end{aligned}$$

其中 $\bm{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 为有向曲面 $\varSigma$ 的单位法向量。

旋度（rotation）： 设向量场

$$\bm{A}(x, y, z) = \bm{P}(x, y, z)\bm{i} + \bm{Q}(x, y, z)\bm{j} + \bm{R}(x, y, z)\bm{k}$$

其中函数 $P, Q, R$ 都具有一阶连续偏导数，向量

$$\left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\bm{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\bm{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\bm{k}$$

称为向量场 $\bm{A}$ 的旋度，记作 $\mathrm{rot}\bm{A}$. 旋度也可以用行列式表示：

$$\mathrm{rot}\bm{A} = \begin{vmatrix} \bm{i} & \bm{j} & \bm{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

斯托克斯公式可以用旋度来定义：

$$\oint_\varGamma \bm{A} \cdot \mathrm{d}\bm{s} = \iint\limits_\varSigma \mathrm{rot}\bm{A} \cdot \mathrm{d}\bm{S}$$