不定积分

对于任意一个由函数求导后得到的导函数,可以求出其原函数,原函数可以有无穷多个。假如 FFff 的一个原函数,那么 F+CF+C 也是 ff 的原函数, CC 被称为积分常数, ff 的任何两个原函数之间都相差一个常数。

连续函数必有原函数,如果一个函数在区间上存在间断点,则其在区间上必没有原函数。

原函数的全体被称作不定积分(Indefinite integral),它是微分的逆运算,记作:f(x)dx=F(x)+C\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C

不定积分和微分满足以下关系:

ddxf(x)dx=f(x)df(x)dx=f(x)dxF(x)dx=F(x)+CdF(x)=F(x)+C\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\\ \mathrm{d}\int f(x)\mathrm{d}x=f(x)\mathrm{d}x\\ \int F'(x)\mathrm{d}x=F(x)+C\\ \int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C

不定积分具有线性运算的性质:

(k1f1(x)+k2f2(x))dx=k1f1(x)dx+k2f2(x)dx\int(k_1f_1(x)+k_2f_2(x))\mathrm{d}x=k_1\int f_1(x)\mathrm{d}x+k_2\int f_2(x)\mathrm{d}x

基本积分表

  1. kdx=kx+C\int k\mathrm{d}x=kx+C

指对幂形式:

  1. xαdx=xα+1α+1+C\int x^\alpha\mathrm{d}x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C
  2. 1xdx\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=lnx+C\ln|x|+C
  3. exdx=ex+C\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C
  4. axdx=axlnx+C\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln x}+C
  5. lnxdx=xlnxx+C\int\ln x\mathrm{d}x=x\ln x-x+C

三角函数形式:

  1. cosaxdx=1asinax+C\int\cos ax\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sin ax+C
  2. sinaxdx=1acosax+C\int\sin ax\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\cos ax+C
  3. sec2x=tanx+C\int\sec^2x=\tan x+C
  4. csc2xdx=cotx+C\int\csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C
  5. secxtanxdx=secx+C\int\sec x\tan x\mathrm{d}x=\sec x+C
  6. cscxcotxdx=cscx+C\int\csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C

反三角函数形式:

  1. dx1x2=arcsinx+C=arccosx+C1\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_1
  2. dx1+x2=arctanx+C=arccotx+C1\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C=-\mathrm{arccot} x+C_1

复合形式:

  1. tanxdx=lncosx+C\int\tan x\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C
  2. cotxdx=lnsinx+C\int\cot x\mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C
  3. secxdx=lnsecx+tanx+C=12ln1+sinx1sinx+C\int\sec x\mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}|+C
  4. cscxdx=lncscxcotx+C=lntanx2+C\int\csc x\mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C=\ln|\tan\frac{x}{2}|+C
  5. 1a2+x2dx=1aarctanxa+C\int\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
  6. 1x2a2dx=12alnxax+a+C\int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C
  7. 1a2x2dx=arcsinxa+C\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C
  8. 1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C
  9. 1x2a2dx=lnx+x2a2+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C
  10. a2x2dx=a22arcsinxa+12xa2x2+C\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C

常见的原函数不是初等函数的情形:

  1. eax2dx(a0)\int e^{ax^2}\mathrm{d}x\quad(a\neq 0)
  2. sinxxdx\int\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x
  3. cosxxdx\int\frac{\cos x}{x}\mathrm{d}x
  4. sinx2dx\int\sin x^2\mathrm{d}x
  5. cosx2dx\int\cos x^2\mathrm{d}x
  6. xnlnxdx(n1)\int\frac{x^n}{\ln x}\mathrm{d}x\quad(n\neq-1)
  7. lnxx+adx(a0)\int\frac{\ln x}{x+a}\mathrm{d}x\quad(a\neq 0)
  8. (sinx)ndx(nZ)\int(\sin x)^n\mathrm{d}x\quad(n\notin\mathbb{Z})
  9. 1x4+adx(a0)\int\frac{1}{\sqrt{x^4+a}}\mathrm{d}x\quad(a\neq 0)
  10. 1+k(sinx)2dx(k0,k1)\int\sqrt{1+k(\sin x)^2}\mathrm{d}x\quad(k\neq 0,k\neq -1)
  11. 11+k(sinx)2dx(k0,k1)\int\frac{1}{\sqrt{1+k(\sin x)^2}}\mathrm{d}x\quad(k\neq 0,k\neq -1)

换元积分法

第一换元积分法:

我们由复合函数求导法则 (f(φ(t)))=f(φ(t))φ(t)(f(\varphi(t)))'=f'(\varphi(t))\varphi'(t) 可知:

f(φ(t))φ(t)=f(φ(t))+C\int f'(\varphi(t))\varphi'(t)=f(\varphi(t))+C

由此得到第一换元积分法的基本公式,这个不定积分也可以记作:

f(φ(t))φ(t)dt=f(φ(t))dφ(t)\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=\int f(\varphi(t))\mathrm{d}\varphi(t)

可以看出,由 φ(t)dt\varphi'(t)\mathrm{d}t 转化为 dφ(t)\mathrm{d}\varphi(t) 是一个求原函数的过程,由 dφ(t)\mathrm{d}\varphi(t) 转化为 φ(t)dt\varphi'(t)\mathrm{d}t 是一个求导的过程。

常数可以在积分号和微分号中随意移动,例如:

af(x)dx=af(x)dx=f(x)daxa\int f(x)\mathrm{d}x=\int af(x)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}ax

微分号后面随意加减常数不会对式子产生影响(因为常数项求导后消去):

f(x)dx=f(x)d(x±a)\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}(x\pm a)

常用的配元形式:

  1. f(ax+b)dx=1af(ax+b)d(ax+b)\int f(ax+b)\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\int f(ax+b)\mathrm{d}(ax+b)

万能凑幂法:

  1. f(xn)xn1dx=1nf(xn)dxn\int f(x^n)x^{n-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int f(x^n)\mathrm{d}x^n
  2. f(xn)1xdx=1nf(xn)1xndxn\int f(x^n)\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{1}{n}\int f(x^n)\frac{1}{x^n}\mathrm{d}x^n

含自然常数:

  1. f(ex)exdx=f(ex)dex\int f(e^x)e^x\mathrm{d}x=\int f(e^x)\mathrm{d}e^x
  2. f(lnx)1xdx=f(lnx)dlnx\int f(\ln x)\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\int f(\ln x)\mathrm{d}\ln x

含三角函数:

  1. f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x
  2. f(cosx)sinxdx=f(cosx)dcosx\int f(\cos x)\sin x\mathrm{d}x=-\int f(\cos x)\mathrm{d}\cos x
  3. f(tanx)sec2xdx=f(tanx)dtanx\int f(\tan x)\sec^2x\mathrm{d}x=\int f(\tan x)\mathrm{d}\tan x

第二换元积分法:

第二换元积分法将非复合函数积分转化为复合函数积分的形式,公式如下:

f(x)dx=f(φ(t))dφ(t)=f(φ(t))φ(t)dt=F(t)+C\int f(x)\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\mathrm{d}\varphi(t)=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\mathrm{d}t=F(t)+C

完成积分后将原变量进行回代,得到:

F(t)+C=F(φ1(x))+CF(t)+C=F(\varphi^{-1}(x))+C

常见类型:

  1. f(x,ax+bn)dx\int f(x,\sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x ,令 t=ax+bnt=\sqrt[n]{ax+b}
  2. f(x,ax+bcx+dn)dx\int f(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x ,令 t=ax+bcx+dnt=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}
  3. f(x,a2x2)dx\int f(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm{d}x ,令 x=asintx=a\sin tx=acostx=a\cos t
  4. f(x,a2+x2)dx\int f(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm{d}x ,令 x=atantx=a\tan tx=ashtx=a\sh t
  5. f(x,x2a2)dx\int f(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm{d}x ,令 x=asectx=a\sec tx=achtx=a\ch t
  6. f(ax)dx\int f(a^x)\mathrm{d}x ,令 t=axt=a^x

分母中因子次数较高时,可以尝试倒代换

分部积分法

我们由函数乘积求导法则 (uv)=uv+uv(uv)'=u'v+uv' 可知:

u(x)v(x)dx+u(x)v(x)dx=u(x)v(x)\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x+\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)

由此得到分部积分法的基本公式:

u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx\int u(x)v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm{d}x

v(x)v'(x)u(x)u'(x) 拿到微分号后面,也可以记作:

u(x)dv(x)=u(x)v(x)v(x)du(x)\int u(x)\mathrm{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\mathrm{d}u(x)

在分部积分时选取 uuvv 的原则:vv' 的原函数容易求, vdu\int v\mathrm{d}u 的形式比 udv\int u\mathrm{d}v 更简单。

选取 vv' 的优先级顺序(从大到小):

  1. 指数函数
  2. 三角函数
  3. 幂函数
  4. 对数函数
  5. 反三角函数

循环积分:

以下演示了一个循环积分的经典例子:

excosxdx=cosxdex=excosxexdcosx=excosx+sinxdex=excosx+exsinxexcosxdx2excosxdx=excosx+exsinxexcosxdx=12ex(cosx+sinx)\begin{aligned} \int e^x\cos x\mathrm{d}x=&\int \cos x\mathrm{d}e^x\\ =&e^x\cos x-\int e^x\mathrm{d}\cos x\\ =&e^x\cos x+\int\sin x\mathrm{d}e^x\\ =&e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\cos x\mathrm{d}x\\ \end{aligned}\\ 2\int e^x\cos x\mathrm{d}x=e^x\cos x+e^x\sin x\\ \int e^x\cos x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}e^x(\cos x+\sin x)

当多次分部积分后出现重复的积分项时,就可以藉由重复项求出所要求积分的值。

有理函数积分

有理函数又被称作有理分式(Rational fraction),是指分子和分母都是多项式的分式,一般形式如下:

R(x)=P(n)Q(n)=α0xn+α1xn1++αnβ0xm+β1xm1++βmR(x)=\frac{P(n)}{Q(n)}=\frac{\alpha_0x^n+\alpha_1x^{n-1}+\cdots +\alpha_n}{\beta_0x^m+\beta_1x^{m-1}+\cdots +\beta_m}

有理分式被分为真分式和假分式两种:

真分式:分母上多项式的最高次数大于分子上多项式的最高次数,即 m>nm>n
假分式:分母上多项式的最高次数小于等于分子上多项式的最高次数,即 mnm\leq n

所谓有理函数求积分,就是指将原来的假分式拆成真分式和多项式相加的形式,再将真分式拆成多个部分分式,以便于求解积分,有理函数的原函数都是初等函数。

多项式除法

多项式除法是代数中的一种算法,用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式,是一个经常被用于因式分解的技巧,这里我们将它用于分解假分式。

多项式除法的基本思路:

  1. 把被除式,除式按某个字母作降幂排列,缺项补零。
  2. 将分子的第一项除以分母的最高次项,得到首商,写在横线之上。
  3. 将分母乘以首商,乘积写在分子前两项之下(同类项对齐)。
  4. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积(消去相等项,把不相等的项结合起来),得到的余式写在下面。
  5. 重复以上步骤,直到最后只剩常数,得出结果。

例: 计算 x312x242x3\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}

 x29x27x3 ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣)x312x2+0x42 x3  3x2 9x2+0x 9x2+27x27x24227x2+81   123\begin{array}{ll} &\ x^2-9x-27\\ x-3 \!\!\!\!\!\!&\overline{)x^3-12x^2+0x-42} \\ &\underline{\ x^3-\ \ 3x^2}\\ &\quad\quad\ -9x^2+0x\\ &\quad\quad\ \underline{-9x^2+27x}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad-27x^2-42\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\underline{-27x^2+81}\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \ -123\\ \end{array}

综上所述:

x312x242x3=x29x27123x3\frac{x^3-12x^2-42}{x-3}=x^2-9x-27-\frac{123}{x-3}

真分式分解

当分母上的多项式形如多个一次式和二次式相乘时,可以进行真分式分解:

Q(x)=(a1xb1)λ1(asxbs)λs(m1x2+p1x+q1)u1(mtx2+ptx+qt)utQ(x)=(a_1x-b_1)^{\lambda_1}\cdots (a_sx-b_s)^{\lambda_s}(m_1x^2+p_1x+q_1)^{u_1}\cdots (m_tx^2+p_tx+q_t)^{u_t}

其中对于任意二次式,满足 Δ=pj24qj<0\Delta=p_j^2-4q_j<0 ,这代表它是一个无法进行因式分解的二次式(如果可以因式分解,则需要分解后充当一次式)。

一次式分解:

对于形如 P(x)(ax+b)k\frac{P(x)}{(ax+b)^k}kk 重一次式,可以采用如下分解方式:
k=1k=1 时:

P(x)(a1x+b1)(a2x+b2)(anx+bn)=A1a1x+b1+A2a2x+b2++Ananx+bn\frac{P(x)}{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\cdots (a_nx+b_n)}=\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{a_2x+b_2}+\cdots +\frac{A_n}{a_nx+b_n}

k>1k>1 时:

P(x)(ax+b)k=A1ax+b+A2(ax+b)2++Ak(ax+b)k\frac{P(x)}{(ax+b)^k}=\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots +\frac{A_k}{(ax+b)^k}

二次式分解:

对于形如 P(x)(mx2+px+q)k\frac{P(x)}{(mx^2+px+q)^k}kk 重二次式,可以采用如下分解方式:

k=1k=1 时:

P(x)(m1x2+p1x+q1)(mnx2+pnx+qn)=A1x+B1m1x2+p1x+q1+++Anx+Bnmnx2+pnx+qn\frac{P(x)}{(m_1x^2+p_1x+q_1)\cdots (m_nx^2+p_nx+q_n)}=\frac{A_1x+B_1}{m_1x^2+p_1x+q_1}++\cdots +\frac{A_nx+B_n}{m_nx^2+p_nx+q_n}

k>1k>1 时:

P(x)(mx2+px+q)k=A1x+B1mx2+px+q+A2x+B2(mx2+px+q)2++Akx+Bk(mx2+px+q)k\frac{P(x)}{(mx^2+px+q)^k}=\frac{A_1x+B_1}{mx^2+px+q}+\frac{A_2x+B_2}{(mx^2+px+q)^2}+\cdots +\frac{A_kx+B_k}{(mx^2+px+q)^k}

例:x2+1(x+2)(x+1)2dx\int\frac{x^2+1}{(x+2)(x+1)^2}\mathrm{d}x

首先进行真分式分解:

x2+1(x+2)(x+1)2=Ax+2+Bx+1+C(x+1)2\frac{x^2+1}{(x+2)(x+1)^2}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}

将各分式通分后合并:

Ax+2+Bx+1+C(x+1)2=A(x+1)2+B(x+1)(x+2)+C(x+2)(x+2)(x+1)2\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+2)}{(x+2)(x+1)^2}

接下来求解待定系数,主要使用以下两种方法:

反解方程法:

将分子与原式的分子系数作比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解。

A(x+1)2+B(x+1)(x+2)+C(x+2)=(A+B)x2+(2A+3B+C)x+A+2B+2C(A+B)x2+(2A+3B+C)x+A+2B+2C=x2+1A(x+1)^2+B(x+1)(x+2)+C(x+2)=(A+B)x^2+(2A+3B+C)x+A+2B+2C\\ (A+B)x^2+(2A+3B+C)x+A+2B+2C=x^2+1

{A+B=12A+3B+C=0A+2B+2C=1\left\{\begin{aligned}&A+B=1\\&2A+3B+C=0\\&A+2B+2C=1\end{aligned}\right.

{A=5B=4C=2\left\{\begin{aligned}&A=5\\&B=-4\\&C=2\end{aligned}\right.

实根代入法:

向原式中代入 x=1x=-1 ,可以消掉 A,BA,B 项,解得:

C=(1)2+1=2C=(-1)^2+1=2

向原式中代入 x=2x=-2 ,可以消掉 B,CB,C 项,解得:

A(1)2=(2)2+1A=5A(-1)^2=(-2)^2+1\\A=5

A,CA,C 的值代回原式中,求出 B=4B=-4

综上所述:

x2+1(x+2)(x+1)2dx=5x+2dx4x+1dx+2(x+1)2dx\int\frac{x^2+1}{(x+2)(x+1)^2}\mathrm{d}x=\int\frac{5}{x+2}\mathrm{d}x-\int\frac{4}{x+1}\mathrm{d}x+\int\frac{2}{(x+1)^2}\mathrm{d}x

部分分式积分

一次式积分:

Axadx=Alnxa+CA(xa)kdx=A1n(xa)1n+C(n1)\int\frac{A}{x-a}\mathrm{d}x=A\ln|x-a|+C\\ \int\frac{A}{(x-a)^k}\mathrm{d}x=\frac{A}{1-n}(x-a)^{1-n}+C\quad(n\neq 1)

二次式积分:

对于 Cx+D(x2+px+q)kdx (p24q<0)\int\frac{Cx+D}{(x^2+px+q)^k}\mathrm{d}x\ (p^2-4q<0) ,先将二次式进行配方:

x2+px+q=x2+2p2x+p24p24+q=(x+p2)2+qp24\begin{aligned}x^2+px+q=&x^2+2\cdot\frac{p}{2}x+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q\\=&(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}\end{aligned}

t=x+p2,r2=qp24t=x+\frac{p}{2},r^2=q-\frac{p^2}{4}

然后对分母进行配凑:

Cx+D=C(x+p2)Cp2+D=CtCp2+D\begin{aligned}Cx+D=&C(x+\frac{p}{2})-C\frac{p}{2}+D\\=&Ct-\frac{Cp}{2}+D\end{aligned}

因此原式可以换元成:

Cx+D(x2+px+q)kdx=CtCp2+D(t2+r2)kdx=Ctdt(t2+r2)k+(DCp2)dt(t2+r2)k\begin{aligned}\int\frac{Cx+D}{(x^2+px+q)^k}\mathrm{d}x=&\int\frac{Ct-\frac{Cp}{2}+D}{(t^2+r^2)^k}\mathrm{d}x\\ =&C\int\frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}+(D-\frac{Cp}{2})\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}\end{aligned}

k=1k=1 时:

tdtt2+r2=12d(t2+r2)t2+r2=12ln(t2+r2)+C\int\frac{t\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(t^2+r^2)}{t^2+r^2}=\frac{1}{2}\ln(t^2+r^2)+C

dtt2+r2=1r1(tr)2+1d(tr)=1rarctantr+C\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+r^2}=\frac{1}{r}\int\frac{1}{(\frac{t}{r})^2+1}\mathrm{d}(\frac{t}{r})=\frac{1}{r}\arctan\frac{t}{r}+C

k>1k>1 时:

tdt(t2+r2)k=12d(t2+r2)(t2+r2)k=1211k(t2+r2)1k+C\int\frac{t\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}(t^2+r^2)}{(t^2+r^2)^k}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-k}(t^2+r^2)^{1-k}+C

Ik=dt(t2+r2)k=1r2t2+r2t2(t2+r2)kdt=1r2dt(t2+r2)k11r2t2dt(t2+r2)k=1r2Ik111k12td(t2+r2)1k=1r2Ik112r2(k1)[t(t2+r2)k1Ik1]\begin{aligned}I_k=\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}=&\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2+r^2-t^2}{(t^2+r^2)^k}\mathrm{d}t\\ =&\frac{1}{r^2}\int\frac{\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-\frac{1}{r^2}\int\frac{t^2\mathrm{d}t}{(t^2+r^2)^k}\\ =&\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{1-k}\frac{1}{2}\int t\mathrm{d}(t^2+r^2)^{1-k}\\ =&\frac{1}{r^2}I_{k-1}-\frac{1}{2r^2(k-1)}\left[\frac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}-I_{k-1}\right] \end{aligned}

有理代换

对于一些非有理函数积分,我们也可以将其转换为有理函数求解,常见的有三角代换和根式代换。

三角代换:

R(sinx,cosx)R(\sin x,\cos x) 表示三角函数有理式,要求 R(sinx,cosx)dx\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x ,则令 t=tanx2t=\tan\frac{x}{2} ,将原积分转换为 tt 的有理函数的积分,这种换元方法被称为万能代换

sinx=2sinx2cosx2sin2x2+cos2x2=2tanx21+tan2x2=2t1+t2\sin x=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^2}

cosx=cos2x2sin2x2sin2x2+cos2x2=1tan2x21+tan2x2=1t21+t2\cos x=\frac{\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan^2\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}

但在某些情况下,可以选择更方便的变量进行代换,例如以下三种情况:

  1. 若被积函数是关于 sinx\sin x 的奇函数,即 R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx)R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x) ,可令 t=cosxt=\cos x
  2. 若被积函数是关于 cosx\cos x 的奇函数,即 R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx)R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x) ,可令 t=sinxt=\sin x
  3. 若被积函数同时是关于 sinx\sin xcosx\cos x 的偶函数,即 R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx)R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x) ,可令 t=tanxt=\tan x

根式代换:

被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换转换为有理函数的积分:

  1. R(x,ax+bn)dx\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x ,令 t=ax+bnt=\sqrt[n]{ax+b}
  2. R(x,ax+bcx+dn)dx\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x ,令 t=ax+bcx+dnt=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}
  3. R(x,ax+bn,ax+bm)dx\int R(x,\sqrt[n]{ax+b},\sqrt[m]{ax+b})\mathrm{d}x ,令 t=ax+bpt=\sqrt[p]{ax+b}ppm,nm,n 的最小公倍数。

定积分

在很多数学和物理问题中,经常需要求解一种特殊和式的极限:

limT0i=1nf(ξi)Δxi\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

这就引出了定积分(Definite integral) 的概念。

用微元法求函数图像与坐标轴之间围成的图形的面积:

1. 分割

在区间 [a,b][a,b] 中任意插入 n1n-1 个分点:

a=x0<x1<x2<<xn1<xn=ba=x_0<x_1<x_2<\cdots <x_{n-1}<x_n=b

Δi=[xi,xi],Δxi=xixi1,i=1,2,3,,n\Delta_i=[x_i,x_i],\Delta x_i=x_i-x_{i-1},i=1,2,3,\cdots ,n

用直线 x=xix=x_i 将曲边梯形分成 nn 个小曲边梯形。

这个分割记作 T={x0,x1,,xn}T=\{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}T={Δ0,,Δn}T=\{\Delta_0,\cdots ,\Delta_n\}

2. 近似

把小曲边梯形 AiA_i 近似看作矩形,即任取 ξ[xi1,xi]\xi\in[x_{i-1},x_i] ,在 [xi1,xi][x_{i-1},x_i] 上把 f(x)f(x) 近似看作常数 f(ξi)f(\xi_i) ,此时 AiA_i 的面积 SiS_i 约为 f(ξi)Δxif(\xi_i)\Delta x_i ,所以:

S(A)=i=1nSii=1nf(ξi)ΔxiS(A)=\sum_{i=1}^nS_i\approx\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

上述和式 i=1nf(ξi)Δxi\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i 称为积分和或黎曼和。

3. 逼近

近似得出的黎曼和和曲边梯形的面积 SS 总有差别,当分割越来越细时,黎曼和与 SS 的差距就会越来越小。

分割 TT 的细度(模):

T=max{Δxii=1,2,,n}||T||=\max\{\Delta x_i|i=1,2,\cdots ,n\}

则当 T0||T||\rightarrow 0 时,就能保证分割越来越细。

对于给定的 ε>0\varepsilon>0 ,能够找到 δ>0\delta>0 ,使得当
T<δ||T||<\delta 时,对任意 ξi[xi1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i] ,都有:

i=1nf(ξi)ΔxiS<ε|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-S|<\varepsilon

定积分的定义:

ff 是定义在 [a,b][a,b] 上的函数, JRJ\in R
ε>0\forall\varepsilon>0δ>0\exists\delta>0 ,对任意分割

T:a=x0<x1<<xn1<xn=bT:a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b

及任意 ξi[xi1,xi],i=1,2,,n\xi_i\in[x_{i-1},x_i],i=1,2,\cdots ,n
T=maxΔxi<δ||T||=\max{\Delta x_i}<\delta 时,必有

i=1nf(ξi)ΔxiJ<ε|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-J|<\varepsilon

则称 ff[a,b][a,b] 上可积,并称 JJff[a,b][a,b] 上的定积分,记作:

J=abf(x)dx=limT0i=1nf(ξi)ΔxiJ=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i

[a,b][a,b] 是积分区间, bb 称为积分上限, aa 称为积分下限, f(x)dxf(x)\mathrm{d}x 称为被积表达式。

定积分的值仅与被积函数和积分区间有关,而与积分量无关。

定积分的估值

f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,则 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm{d}x 存在,根据定积分定义可得如下近似计算方法:

[a,b][a,b] 分成 nn 等份, Δx=ban\Delta x=\frac{b-a}{n}xi=a+iΔx (i=0,1,,n)x_i=a+i\cdot\Delta x\ (i=0,1,\cdots ,n)

f(xi)=yif(x_i)=y_i ,有以下三种定积分估值方法:

左矩形公式:

abf(x)dxy0Δx+y1Δx++yn1Δx=ban(y0+y1++yn1)\begin{aligned}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx&y_0\Delta x+y_1\Delta x+\cdots +y_{n-1}\Delta x\\=&\frac{b-a}{n}(y_0+y_1+\cdots +y_{n-1})\end{aligned}

右矩形公式:

abf(x)dxy1Δx+y2Δx++ynΔx=ban(y1+y2++yn)\begin{aligned}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx&y_1\Delta x+y_2\Delta x+\cdots +y_n\Delta x\\=&\frac{b-a}{n}(y_1+y_2+\cdots +y_n)\end{aligned}

梯形公式:

abf(x)dxi=1n112[yi1+yi]Δx=ban[12(y0+yn)+(y1++yn1)]\begin{aligned}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\approx&\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{2}[y_{i-1}+y_i]\Delta x\\=&\frac{b-a}{n}\left[\frac{1}{2}(y_0+y_n)+(y_1+\cdots +y_{n-1})\right]\end{aligned}

沃利斯公式(Wallis formula):

π2=limn[(2n)!!(2n1)!!]212n+1\frac{\pi}{2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]^2\frac{1}{2n+1}

其中 n!!n!! 为双阶乘,表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积。
沃里斯公式通常用来简化定积分计算:

0π2sinnx=0π2cosnx={(n1)!!n!!π2,n为偶数(n1)!!n!!,n为奇数\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx=\left\{\begin{aligned}&\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}&,n为偶数\\&\frac{(n-1)!!}{n!!}&,n为奇数\end{aligned}\right.

定积分的性质

(以下所列定积分均存在)

  1. 上下限可换: abf(x)dx=baf(x)dxaaf(x)dx=0\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=-\int_b^af(x)\mathrm{d}x\qquad\int_a^af(x)\mathrm{d}x=0

  1. 常值函数积分: abkdx=k(ba)\int_a^bk\mathrm{d}x=k(b-a)

  1. 常数可分离到积分号外部: abkf(x)dx=kabf(x)dx\int_a^bkf(x)\mathrm{d}x=k\int_a^bf(x)\mathrm{d}x

  1. 线性运算: ab[f(x)±g(x)]dx=abf(x)dx±abg(x)dx\int_a^b[f(x)\pm g(x)]\mathrm{d}x=\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\pm\int_a^bg(x)\mathrm{d}x
    藉由定积分的极限定义可以证明线性运算性质:

左端=limT0i=1n[f(ξi)±g(ξi)]Δxi=limT0i=1nf(ξi)Δxi±limT0i=1ng(ξi)Δxi=右端\begin{aligned}左端=&\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n[f(\xi_i)\pm g(\xi_i)]\Delta x_i\\ =&\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i\pm\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^ng(\xi_i)\Delta x_i=右端\end{aligned}

  1. 函数 f,gf,g 在区间上可积,其乘积 fgf\cdot g 在该区间上依旧可积。

  1. 积分区间的可加性: ff[a,b][a,b] 上可积的充要条件是 c(a,b)\forall c\in(a,b)ff[a,c][a,c][c,b][c,b] 上都可积,此时有:

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+\int_c^bf(x)\mathrm{d}x

  1. 积分的保号性:若在 [a,b][a,b]f(x)0f(x)\geq 0 ,则 abf(x)dx0\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\geq 0
    证明:

i=1ng(ξi)Δxi0可得abf(x)dx=limT0i=1ng(ξi)Δxi0\begin{aligned}由&\sum_{i=1}^ng(\xi_i)\Delta x_i\geq 0\\ 可得&\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\lim_{||T||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^ng(\xi_i)\Delta x_i\geq 0\end{aligned}

  • 推论:若在 [a,b][a,b]f(x)g(x)f(x)\leq g(x) ,则 abf(x)dxabg(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq\int_a^bg(x)\mathrm{d}x

  1. 绝对值定理: abf(x)dxabf(x)dx(a<b)|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x|\leq\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\quad(a<b)
    证明:

f(x)f(x)f(x)可得abf(x)dxabf(x)dxabf(x)dxabf(x)dxabf(x)dx\begin{aligned}由&-|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)|\\ 可得&-\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\leq\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\\ 即&|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x|\leq\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x\end{aligned}

  1. 估值定理:设 M=max[a,b]f(x),m=min[a,b]f(x)M=\max\limits_{[a,b]}f(x),m=\min\limits_{[a,b]}f(x) ,则

m(ba)abf(x)dxM(ba)(a<b)m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq M(b-a)\quad(a<b)

证明:由连续函数最值定理可以得到 f(x)f(x) 必存在最大值 MM 和最小值 mm ,即 x[a,b]\exists x\in[a,b] ,使得 mf(x)Mm\leq f(x)\leq M ,所以:

abmdxabf(x)dxabMdxm(ba)abf(x)dxM(ba)\int_a^bm\mathrm{d}x\leq\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq\int_a^bM\mathrm{d}x\\ m(b-a)\leq\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq M(b-a)

积分第一中值定理

f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,则存在至少一点 ξ[a,b]\xi\in[a,b] ,使

abf(x)dx=f(ξ)(ba)\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)

证明:

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上的最小值和最大值分别是 mmMM ,则由估值定理可得:

m1ababf(x)dxMm\leq\frac{1}{a-b}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\leq M

根据闭区间上连续函数介值定理,在 [a,b][a,b] 上至少存在一点 ξ[a,b]\xi\in[a,b] ,使得

f(ξ)=1ababf(x)dxf(\xi)=\frac{1}{a-b}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x

因此

abf(x)dx=f(ξ)(ba)\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)

其中 f(ξ)f(\xi) 可以理解为 f(x)f(x)[a,b][a,b] 上所有函数值的平均值,称作积分均值,这是有限个数的算术平均数的推广。

推论:f,gf,g[a,b][a,b] 上连续,且 g(x)g(x)[a,b][a,b] 上不变号,则 ξ[a,b]\exists\xi\in[a,b] ,使

abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm{d}x

证明:令

F(x)=axf(t)g(t)dtG(x)=axg(t)dtF(x)=\int_a^xf(t)g(t)\mathrm dt\\ G(x)=\int_a^xg(t)\mathrm dt

这两个函数均在 [a,b][a,b] 上可导,且 g(x)0g(x)\neq 0,即 F(x)F'(x)G(x)G'(x) 不同时为零,并且

G(x)0=G(a)G(x)\neq 0=G(a)

由柯西中值定理可得:

F(ξ)G(ξ)=F(b)F(a)G(b)G(a)=F(b)G(b)\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F(b)}{G(b)}

又因为

F(ξ)G(ξ)=f(ξ)g(ξ)g(ξ)=f(ξ)\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{f(\xi)g(\xi)}{g(\xi)}=f(\xi)

可得

abf(x)g(x)dx=f(ξ)abg(x)dx\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\int_a^bg(x)\mathrm{d}x

可积条件

定义:ff[a,b][a,b] 上有界,对任意分割

T:a=x0<x1<<xn=bT:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

S(T)=i=1nMiΔxiS(T)=\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_iff 关于分割 TT达布上和,其中

Mi=sup{f(x)x[xi1,xi]}, i=1,2,,nM_i=\sup\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_i]\},\ i=1,2,\cdots,n

s(T)=i=1nmiΔxis(T)=\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_iff 关于分割 TT达布下和,其中

mi=inf{f(x)x[xi1,xi]}, i=1,2,,nm_i=\inf\{f(x)|x\in[x_{i-1},x_i]\},\ i=1,2,\cdots,n

ωi=Mimi (i=1,2,,n)\omega_i=M_i-m_i\ (i=1,2,\cdots,n)ff[xi1,xi][x_{i-1},x_i] 上的振幅
振幅反映了函数在区间内的变化范围,是一个与连续性相关联的概念。

可积准则: 函数 ff[a,b][a,b] 上可积的充要条件是:ε>0\forall\varepsilon>0\exists 分割 TT,使

S(T)s(T)=i=1n(Mimi)Δxi=i=1nωiΔxi<εS(T)-s(T)=\sum_{i=1}^n(M_i-m_i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\varepsilon

下面介绍了可积准则的三个应用情形,分别可以推出一条定积分存在定理。

情形一: 每个 ωi<εba\omega_i<\dfrac{\varepsilon}{b-a},从而

i=1nωiΔxi<εbai=1nΔxi=ε\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i<\frac{\varepsilon}{b-a}\sum_{i=1}^n\Delta x_i=\varepsilon

情形二:i=1nωi\sum_{i=1}^n\omega_i 有界,即 M\exists M,对任意分割 TTi=1nωiM\sum_{i=1}^n\omega_i\leq M,则当 T<εM||T||<\dfrac{\varepsilon}{M} 时,

i=1nωiΔxiTi=1nωi<εMM=ε\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i\leq||T||\sum_{i=1}^n\omega_i<\frac{\varepsilon}{M}M=\varepsilon

情形三:ωiΔxi=ωiΔxi+ωiΔxi\sum\omega_i\Delta x_i=\sum\omega_i'\Delta x_i'+\sum\omega_i''\Delta x_i''

ωiΔxi\sum\omega_i'\Delta x_i' 中,

ωi<ε2(ba)\omega_i'<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}

而在 ωiΔxi\sum\omega_i''\Delta x_i'' 中,

Δxi<ε2(Mm)\sum\Delta x_i''<\frac{\varepsilon}{2(M-m)}

其中 MmM-mff[a,b][a,b] 上的振幅,从而

ωiMm,i=1,2,,n\omega_i\leq M-m,i=1,2,\cdots,n

于是

ωiΔxi=ωiΔxi+ωiΔxi<ε2(ba)(ba)+ε2(Mm)(Mm)=ε\begin{aligned} \sum\omega_i\Delta x_i&=\sum\omega_i'\Delta x_i'+\sum\omega_i''\Delta x_i''\\ &<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)+\frac{\varepsilon}{2(M-m)}(M-m)\\ &=\varepsilon \end{aligned}

定积分存在定理:

  1. 函数在闭区间内连续。
  2. 函数在闭区间上单调。
  3. 函数在闭区间内有界,且只有有限个间断点。

微积分学基本定理

变限积分

f(x)f(x)[a,b][a,b] 上连续,并且设 xx[a,b][a,b] 上的一点,有这样的一个定积分: axf(t)dt\int_a^xf(t)\mathrm{d}t

如果上限 xx 在区间上任意变动,则对于每一个给定的 xx 值,都有一个对应得定积分值,这些值在区间上定义了一个函数,称为积分上限函数

Φ(x)=axf(t)dt\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t

f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,则积分上限函数是 f(x)f(x)[a,b][a,b] 上的一个原函数。

证明:x,x+h[a,b]\forall x,x+h\in[a,b] ,则有

Φ(x+h)Φ(x)h=1h[ax+hf(t)dtaxf(t)dt]=1hxx+hf(t)dt=f(ξ)(x<ξ<x+h)\begin{aligned}\frac{\Phi(x+h)-\Phi(x)}{h}=&\frac{1}{h}\left[\int_a^{x+h}f(t)\mathrm{d}t-\int_a^xf(t)\mathrm{d}t\right]\\ =&\frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t=f(\xi)\quad(x<\xi<x+h)\end{aligned}

由于 f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b]

Φ(x)=limh0Φ(x+h)Φ(x)h=limh0f(ξ)=f(x)\Phi'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\Phi(x+h)-\Phi(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}f(\xi)=f(x)

该定理为通过原函数计算定积分开辟了道路。

变限积分求导:

  1. ddxaxf(t)dt=f(x)\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^xf(t)\mathrm{d}t=f(x)
  2. ddxxbf(t)dt=f(x)\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_x^bf(t)\mathrm{d}t=-f(x)
  3. ddxaφ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ(x)\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t=f[\varphi(x)]\varphi'(x)
  4. ddxψ(x)φ(x)f(t)dt=ddx[ψ(x)af(t)dt+aφ(x)f(t)dt]=f[φ(x)]φ(x)f[ψ(x)]ψ(x)\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\int_{\psi(x)}^af(t)\mathrm{d}t+\int_a^{\varphi(x)}f(t)\mathrm{d}t\right]=f[\varphi(x)]\varphi'(x)-f[\psi(x)]\psi'(x)

变限积分求导时,被积函数中若含有 xx ,要先将其从积分号中分离出来,再求导。

牛顿-莱布尼茨公式

f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,且 F(x)F(x)f(x)f(x) 的原函数。

对于 [a,b][a,b] 的任一分割 T={a=x0,x1,,xn=b}T=\{a=x_0,x_1,\cdots ,x_n=b\} ,在每个小区间 [xi1,xi][x_{i-1},x_i] 上对 F(x)F(x) 使用拉格朗日中值定理,则分别存在 ηi(xi1,xi),i=1,2,,n\eta_i\in(x_{i-1},x_i),i=1,2,\cdots ,n ,使得

F(b)F(a)=i=1n[F(xi)F(xi1)]=i=1nF(ηi)Δxi=i=1nf(ηi)Δxi\begin{aligned}F(b)-F(a)=&\sum_{i=1}^n[F(x_i)-F(x_{i-1})]\\ =&\sum_{i=1}^nF'(\eta_i)\Delta x_i\\ =&\sum_{i=1}^nf(\eta_i)\Delta x_i\end{aligned}

因为 f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,从而 f(x)f(x)[a,b][a,b] 上一致连续,
所以 ε>0,δ>0\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0 ,当 x,x[a,b]x',x''\in[a,b]xx<δ|x'-x''|<\delta 时,有

f(x)f(x)<εba|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{b-a}

于是,当 ΔxiT<δ\Delta x_i\leq||T||<\delta 时,任取 ξi[xi1,xi]\xi_i\in[x_{i-1},x_i] ,有 ξiηi<δ|\xi_i-\eta_i|<\delta ,可证得:

i=1nf(ξi)Δxi[F(b)F(a)]=i=1n[f(ξi)f(ηi)]Δxii=1nf(ξi)f(ηi)Δxi<εbai=1nΔxi=ε\begin{aligned}&\left|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-[F(b)-F(a)]\right|\\ =&\left|\sum_{i=1}^n[f(\xi_i)-f(\eta_i)]\Delta x_i\right|\\ \leq&\sum_{i=1}^n|f(\xi_i)-f(\eta_i)|\Delta x_i\\ <&\frac{\varepsilon}{b-a}\cdot\sum_{i=1}^n\Delta x_i=\varepsilon\end{aligned}

综上所述,当 F(x)F(x) 是连续函数 f(x)f(x)[a,b][a,b] 上的一个原函数时,有以下公式成立:

abf(x)dx=F(x)ab=F(b)F(a)\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)

这便是牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz formula) 的完整形式。

定积分换元积分法

f(x)C[a,b]f(x)\in C[a,b] ,单值函数 x=φ(t)x=\varphi(t) ,满足:

  1. φ(t)C1[α,β]\varphi(t)\in C^1[\alpha,\beta] 且单调
  2. [α,β][\alpha,\beta]aφ(t)b,φ(α)=a,φ(β)=ba\leq\varphi(t)\leq b,\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b

abf(x)dx=αβf[φ(t)]φ(t)dt\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t

证明:

F(x)F(x)f(x)f(x) 的一个原函数,则 F[φ(t)]F[\varphi(t)]f[φ(t)]φ(t)dtf[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t 的原函数,因此

abf(x)dx=F(b)F(a)=F[φ(β)]F[φ(α)]=αβf[φ(t)]φ(t)dt\begin{aligned}\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=&F(b)-F(a)=F[\varphi(\beta)]-F[\varphi(\alpha)]\\ =&\int_\alpha^\beta f[\varphi(t)]\varphi'(t)\mathrm{d}t\end{aligned}

当区间换为 [β,α][\beta,\alpha] 时,定理仍成立。
换元必换限,原函数中的变量不必代回。
x=φ(t)x=\varphi(t) ,换元公式反过来使用依然成立。

偶倍奇零:

f(x)C[a,a]f(x)\in C[-a,a]

  1. f(x)f(x) 是偶函数,则 aaf(x)dx=20af(x)dx\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=2\int_0^af(x)\mathrm{d}x
  2. f(x)f(x) 是奇函数,则 aaf(x)dx=0\int_{-a}^af(x)\mathrm{d}x=0

周期函数积分:

f(x)C(R)f(x)\in C(\mathbb R) ,且有一周期为 TT ,则 aR\forall a\in\mathbb R ,有

aa+Tf(x)dx=0Tf(x)dx\int_a^{a+T}f(x)\mathrm{d}x=\int_0^Tf(x)\mathrm{d}x

定积分分部积分法

u(x),v(x)C1[a,b]u(x),v(x)\in C^1[a,b] ,则

abu(x)v(x)dx=u(x)v(x)ababu(x)v(x)dx\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm{d}x

证明:

[u(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

两边积分得:

u(x)v(x)ab=abu(x)v(x)dx+abu(x)v(x)dxu(x)v(x)\bigg|_a^b=\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm{d}x+\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm{d}x

所以可以移项得:

abu(x)v(x)dx=u(x)v(x)ababu(x)v(x)dx\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm{d}x=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm{d}x

分部积分公式的推广:

若在 [a,b][a,b]u(x),v(x)u(x),v(x)n+1n+1 阶连续导函数,则有

abu(x)v(n+1)(x)dx=[u(x)v(n)(x)u(x)v(n1)(x)++(1)nu(n)(x)v(x)]ab+(1)n+1abu(n+1)(x)v(x)dx(n=1,2,)\begin{aligned} \int_a^bu(x)v^{(n+1)}(x)\mathrm{d}x&=\left[u(x)v^{(n)}(x)-u'(x)v^{(n-1)}(x)+\cdots+(-1)^nu^{(n)}(x)v(x)\right]_a^b\\ &+(-1)^{n+1}\int_a^bu^{(n+1)}(x)v(x)\mathrm{d}x\\ &(n=1,2,\cdots) \end{aligned}

泰勒公式的积分型与柯西型余项

设函数 ff 在点 x0x_0 的某邻域 U(x0)U(x_0) 上有 n+1n+1 阶连续导函数。
xU(x0)x\in U(x_0)u(t)=(xt)nu(t)=(x-t)^nv(t)=f(t)v(t)=f(t)t[x0,x]t\in[x_0,x],利用分布积分的推广公式可得:

x0x(xt)nfn+1(t)dt=[(xt)nf(n)(t)+n(xt)n1f(n1)(t)++n!f(t)]x0x+x0x0f(t)dt=n!f(x)n![f(x0)+f(x0)(xx0)++f(n)(x0)n!(xx0)n]\begin{aligned} &\quad\int_{x_0}^x(x-t)^nf^{n+1}(t)\mathrm{d}t\\ &=\left[(x-t)^nf^{(n)}(t)+n(x-t)^{n-1}f^{(n-1)}(t)+\cdots+n!f(t)\right]_{x_0}^x+\int_{x_0}^x0\cdot f(t)\mathrm{d}t\\ &=n!f(x)-n!\left[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\right] \end{aligned}

可以看到,这与泰勒公式的形式是类似的,由此推断出泰勒公式的 nn 阶余项可以表示为

Rn(x)=1n!x0xf(n+1)(t)(xt)ndtR_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt

这就是泰勒公式的积分型余项

由于 f(n+1)(t)f^{(n+1)}(t) 连续,并且 (xt)n(x-t)^n[x0,x][x_0,x] 上同号,由积分第一中值定理的推论可得:

Rn(x)=1n!f(n+1)(ξ)x0x(xt)ndt=1(n+1)!f(n+1)(ξ)(xx0)n+1\begin{aligned} R_n(x)&=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)\int_{x_0}^x(x-t)^n\mathrm dt\\ &=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1} \end{aligned}

这就转化为了我们熟悉的拉格朗日型余项。

将积分第一中值定理直接应用于上式,可得:

Rn(x)=1n!f(n+1)(ξ)(xξ)n(xx0)R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)(x-\xi)^n(x-x_0)

ξ=x0+θ(xx0), 0θ1\xi=x_0+\theta(x-x_0),\ 0\leq\theta\leq 1,则

(xξ)n(xx0)=[xx0θ(xx0)]n(xx0)=(1θ)n(xx0)n+1\begin{aligned} (x-\xi)^n(x-x_0)&=[x-x_0-\theta(x-x_0)]^n(x-x_0)\\ &=(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1} \end{aligned}

最终可将 Rn(x)R_n(x) 改写为:

Rn(x)=1n!f(n+1)(x0+θ(xx0))(1θ)n(xx0)n+1,0θ1R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))(1-\theta)^n(x-x_0)^{n+1},\quad 0\leq\theta\leq 1

特别地,当 x0=0x_0=0 时,又有

Rn(x)=1n!f(n+1)(θx)(1θ)nxn+1,0θ1R_n(x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\theta x)(1-\theta)^nx^{n+1},\quad 0\leq\theta\leq 1

以上两个公式称作泰勒公式的柯西型余项

定积分的应用

求平面图形的面积

直角坐标方程表示的平面图形:

在平面直角坐标系中有两个 y=f(x)y=f(x) 型连续函数的图像,垂直于x轴作两条直线,围成的面积叫作x型区域

A={(x,y)f1(x)yf2(x),x[a,b]}A=\{(x,y)|f_1(x)\leq y\leq f_2(x),x\in [a,b]\}

该区域面积的计算公式为:

S(A)=ab(f2(x)+M)dxab(f1(x)+M)dx=ab[f2(x)f1(x)]dx\begin{aligned}S(A)&=\int_a^b(f_2(x)+M)\mathrm dx-\int_a^b(f_1(x)+M)\mathrm dx\\&=\int_a^b[f_2(x)-f_1(x)]\mathrm dx\end{aligned}

在平面直角坐标系中有两个 x=g(y)x=g(y) 型连续函数的图像,垂直于y轴作两条直线,围成的面积叫作y型区域

B={(x,y)g1(y)xg2(y),y[c,d]}B=\{(x,y)|g_1(y)\leq x\leq g_2(y),y\in [c,d]\}

该区域面积的计算公式为:

S(B)=cd[g2(y)g1(y)]dyS(B)=\int_c^d[g_2(y)-g_1(y)]\mathrm dy

若围成区域的边缘皆垂直于坐标轴或皆不垂直于坐标轴,则该区域既是x型区域也是y型区域,这时候从x型区域求法和y型区域求法挑选一个好用的方法求面积。

参数方程表示的平面图形:

设曲线由参数方程表示:

{x=x(t)y=y(t),t[α,β]\left\{\begin{aligned}x=x(t)\\y=y(t)\end{aligned}\right.,t\in [\alpha,\beta]

其中 y(t)y(t) 连续,x(t)x(t) 连续可微。

该曲线所围成的区域面积计算公式为:

S(A)=αβy(t)x(t)dtS(A)=\int_\alpha^\beta|y(t)x'(t)|\mathrm dt

极坐标表示的平面图形的面积:

设曲线 CC 的极坐标方程为 r=r(θ),θ[α,β]r=r(\theta),\theta\in [\alpha,\beta]。图形 AA 由曲线 CC 和两条射线 θ=α\theta=\alphaθ=β\theta=\beta 围成。

极坐标表示的平面图形

该区域的面积计算公式为:

S(A)=12αβr2(θ)dθS(A)=\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\mathrm d\theta

由横截面求体积

求不规则体体积:

Ω\Omega 为三维空间中一立体,它夹在垂直于 xx 轴的两平面 x=a,x=b (a<b)x=a,x=b\ (a<b) 之间。

x[a,b]\forall x\in[a,b],作垂直于 xx 轴的另一平面,将其截 Ω\Omega 得到的截面面积可以写成函数 A(x)A(x),若 A(x)A(x)[a,b][a,b] 上连续,则

V(Ω)=abA(x)dxV(\Omega)=\int_a^bA(x)\mathrm dx

例:求椭球体 x2a2+y2b2+z2c2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 的体积。

xx 为自变量,将原式进行变形:

y2b2+z2c2=1x2a2y2b2(1x2a2)+z2c2(1x2a2)=1\begin{aligned} \dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}&=1-\dfrac{x^2}{a^2}\\ \dfrac{y^2}{b^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}+\dfrac{z^2}{c^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}&=1 \end{aligned}

该式即为平面椭圆的标准表达式,由椭圆的面积公式 S=πabS=\pi\cdot a\cdot b 可得:

A(x)=πb2(1x2a2)c2(1x2a2)=πbc(1x2a2)\begin{aligned} A(x)&=\pi\cdot\sqrt{b^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}\cdot\sqrt{c^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}\\ &=\pi\cdot b\cdot c\cdot(1-\dfrac{x^2}{a^2}) \end{aligned}

对该函数进行积分即可得到椭球体的体积:

V=aaπbc(1x2a2)dx=πbc(xx33a2)aa=43πabc\begin{aligned} V&=\int_{-a}^a\pi bc(1-\dfrac{x^2}{a^2})\mathrm dx\\ &=\pi bc(x-\frac{x^3}{3a^2})\bigg|_{-a}^a\\ &=\frac{4}{3}\pi abc \end{aligned}

求旋转体体积:

ff[a,b][a,b] 上的连续函数,Ω\Omega 是由平面图形

A={(x,y)0yf(x),axb}A=\{(x,y)|0\leq|y|\leq|f(x)|,a\leq x\leq b\}

xx 轴旋转一周所得的旋转体,则

A(x)=πf2(x),x[a,b]A(x)=\pi f^2(x),x\in[a,b]

V=πabf2(x)dxV=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm dx

如果所求旋转体是空心的圆环,则需要分别写出上半圆和下半圆的函数表达式 f1,f2f_1,f_2,并且 A(x)=πf12(x)πf22(x)A(x)=\pi f_1^2(x)-\pi f_2^2(x).

类似地,可得绕 yy 轴旋转一周所得的旋转体体积为

V=ab2πxf(x)dxV=\int_a^b2\pi xf(x)\mathrm dx

平面曲线的弧长

设平面曲线 CC 由以下参数方程表示:

x=x(t),y=y(t),t[α,β]x=x(t),y=y(t),t\in[\alpha,\beta]

如果 x(t)x(t)y(t)y(t)[α,β][\alpha,\beta] 上连续可微,且 x(t)x'(t)y(t)y'(t) 不同时为零,则称 CC 是一条光滑曲线。

对于光滑曲线 CC,它的弧长是可求的,并且借助弧微分的概念,我们可以得到以下公式:

s=αβ[x(t)]2+[y(t)]2dts=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}t

若曲线 CC 由极坐标方程 r=r(θ),θ[α,β]r=r(\theta),\theta\in[\alpha,\beta] 表示,则 CC 可看作:

x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθx=r(\theta)\cos\theta,y=r(\theta)\sin\theta

同理可得弧长公式:

s=αβ[r(θ)]2+[r(θ)]2dθs=\int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}\mathrm{d}\theta

反常积分

定积分的积分区间都是有限的,并且被积函数都是有限的。但在实际应用和理论研究中,还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数,对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此,有必要对定积分的概念加以推广,使之能适用于上述两类函数。这种推广的积分,就称作广义积分反常积分(Improper integral)

无穷积分

设函数 ff 定义在 [a,+)[a,+\infty) 上,且在任何有限区间 [a,u][a,u] 上可积,若存在极限

limu+auf(x)dx=J\lim_{u\to+\infty}\int_a^uf(x)\mathrm dx=J

则称此极限 JJ 为函数 ff[a,+)[a,+\infty) 上的无穷限反常积分,简称无穷积分,记作:

J=a+f(x)dxJ=\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx

并称 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 收敛;反之,若该极限不存在,则称 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 发散。

类似的,我们也可以写出如下定义:

bf(x)dx=limuubf(x)dx\int_{-\infty}^bf(x)\mathrm dx=\lim_{u\to-\infty}\int_u^bf(x)\mathrm dx

+f(x)dx=af(x)dx+a+f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx=\int_{-\infty}^af(x)\mathrm dx+\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx

只有当 af(x)dx\int_{-\infty}^af(x)\mathrm dxa+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 同时收敛时,+f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm dx 才收敛。

无穷积分的牛顿-莱布尼茨公式:

a+f(x)dx=F(x)a+=F(+)F(a)=limu+F(u)F(a)\begin{aligned} \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx&=F(x)\bigg|_a^{+\infty}\\ &=F(+\infty)-F(a)\\ &=\lim_{u\to+\infty}F(u)-F(a) \end{aligned}

无穷积分的性质:

性质1: 两个相同限的无穷积分可以线性组合:若 a+f1(x)dx\int_a^{+\infty}f_1(x)\mathrm dxa+f2(x)dx\int_a^{+\infty}f_2(x)\mathrm dx 都收敛,k1,k2k_1,k_2 为任意常数,则

a+(k1f1(x)+k2f2(x))dx\int_a^{+\infty}(k_1f_1(x)+k_2f_2(x))\mathrm dx

也收敛,并且

a+(k1f1(x)+k2f2(x))dx=k1a+f1(x)dx+k2a+f2(x)dx\begin{aligned} \int_a^{+\infty}&(k_1f_1(x)+k_2f_2(x))\mathrm dx\\ &=k_1\int_a^{+\infty}f_1(x)\mathrm dx+k_2\int_a^{+\infty}f_2(x)\mathrm dx \end{aligned}

性质2: 对于同一可积函数在不同限上的无穷积分:a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dxb+f(x)dx\int_b^{+\infty}f(x)\mathrm dx,同时收敛或同时发散,并且

a+f(x)dx=abf(x)dx+b+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_b^{+\infty}f(x)\mathrm dx

性质3: 设对于任何 b>ab>af(x)f(x)[a,b][a,b] 上可积,若无穷积分 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm dx 收敛,则称无穷积分 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx绝对收敛;若 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 收敛,而 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm dx 发散,则称 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx条件收敛

a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 绝对收敛,则此无穷积分收敛。

a+f(x)dxa+f(x)dx\left|\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx\right|\leq \int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm dx

瑕积分

设函数 ff 定义在 (a,b](a,b] 上,在 aa 的任意右邻域内无界,但在任何闭区间 [u,b][u,b] 上有界且可积,若存在极限

limua+ubf(x)dx=J\lim_{u\to a^+}\int_u^bf(x)\mathrm dx=J

则称此极限 JJ 为函数 ff(a,b](a,b] 上的无界函数反常积分,简称瑕积分,记作:

J=abf(x)dxJ=\int_a^bf(x)\mathrm dx

并称 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛;反之,若该极限不存在,则称 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 发散。

aa 被称作是该瑕积分的瑕点(Flaw),所谓瑕点,可以理解为使积分变得不完美的点。

类似的,我们也可以写出 bb 为瑕点时的瑕积分定义:

abf(x)dx=limubauf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{u\to b^-}\int_a^uf(x)\mathrm dx

ff 的瑕点 c(a,b)c\in(a,b),定义

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx=limucauf(x)dx+limvc+vbf(x)dx\begin{aligned} \int_a^bf(x)\mathrm dx&=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx\\ &=\lim_{u\to c^-}\int_a^uf(x)\mathrm dx+\lim_{v\to c^+}\int_v^bf(x)\mathrm dx \end{aligned}

只有当 acf(x)dx\int_a^cf(x)\mathrm dxcbf(x)dx\int_c^bf(x)\mathrm dx 同时收敛时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 才收敛。

瑕积分的牛顿-莱布尼茨公式:

aa 为瑕点:

abf(x)dx=F(x)a+b=F(b)F(a+)=F(b)limua+F(u)\begin{aligned} \int_a^bf(x)\mathrm dx&=F(x)\bigg|_{a^+}^b\\ &=F(b)-F(a^+)\\ &=F(b)-\lim_{u\to{a^+}}F(u) \end{aligned}

瑕积分的性质:

性质1: 两个相同瑕点的瑕积分可以线性组合:若 abf1(x)dx\int_a^bf_1(x)\mathrm dxabf2(x)dx\int_a^bf_2(x)\mathrm dx 的瑕点相同,k1,k2k_1,k_2 为任意常数,则

ab(k1f1(x)+k2f2(x))dx\int_a^b(k_1f_1(x)+k_2f_2(x))\mathrm dx

也收敛,并且

ab(k1f1(x)+k2f2(x))dx=k1abf1(x)dx+k2abf2(x)dx\begin{aligned} \int_a^b&(k_1f_1(x)+k_2f_2(x))\mathrm dx\\ &=k_1\int_a^bf_1(x)\mathrm dx+k_2\int_a^bf_2(x)\mathrm dx \end{aligned}

性质2: 对于同一可积函数相同瑕点在不同限上的瑕积分:设函数 ff 的瑕点为 x=ax=a,若 c(a,b)c\in(a,b),则 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dxacf(x)dx\int_a^cf(x)\mathrm dx,同时收敛或同时发散,并且

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx

性质3: 设函数 ff 的瑕点为 x=ax=aff(a,b](a,b] 的任一闭区间 [u,b] (u>a)[u,b]\ (u>a) 上可积,若瑕积分 abf(x)dx\int_a^b|f(x)|\mathrm dx 收敛,则称瑕积分 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx绝对收敛;若 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛,而 abf(x)dx\int_a^b|f(x)|\mathrm dx 发散,则称 abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx条件收敛

abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 绝对收敛,则此瑕积分收敛。

abf(x)dxabf(x)dx\left|\int_a^bf(x)\mathrm dx\right|\leq \int_a^b|f(x)|\mathrm dx

正项无穷积分的收敛判别法

定义判别法:

设定义在 [a,+)[a,+\infty) 上的非负函数 ff 在任何有限区间 [a,u][a,u] 上可积,则 a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 可积的充要条件是:M>0\exists M>0,使

u[a,+), auf(x)dxM\forall u\in[a,+\infty),\ |\int_a^uf(x)\mathrm dx|\leq M

比较判别法:

设定义在 [a,+)[a,+\infty) 上的两个非负函数 f,gf,g 在任何有限区间 [a,u][a,u] 上可积,且存在 G>0G>0,满足

f(x)g(x), x[G,+)f(x)\leq g(x),\ x\in[G,+\infty)

  • a+g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx 收敛时,a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 也收敛。
  • a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 发散时,a+g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx 也发散。

比较判别法的极限形式:

f(x),g(x)f(x),g(x)[a,+)(a>0)[a,+\infty)(a>0) 上非负连续,g(x)>0g(x)>0,并且

limx+f(x)g(x)=l\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l

  • 0<l<+0<l<+\inftya+g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dxa+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 收敛性相同。
  • l=0l=0,当 a+g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx 收敛时,a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 也收敛。
  • l=+l=+\infty,当 a+g(x)dx\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm dx 发散时,a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 也发散。

在使用无穷积分的比较判别法时,常用 f(x)=1xp (p>0)f(x)=\dfrac{1}{x^p}\ (p>0) 作为比较大小的基准函数,它的无穷积分 1+1xpdx\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\mathrm dx 的收敛性很容易可以证得:

p=1p=1 时,

1+dxx=lim1+1bdxx=lim1+lnb=+\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{1\to+\infty}\int_1^b\frac{\mathrm dx}{x}=\lim_{1\to+\infty}\ln b=+\infty

故该无穷积分发散。

p1p\neq 1 时,

1+dxxp=x1p1p1+={+, p<11p1, p>1\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}=\frac{x^{1-p}}{1-p}\bigg|_1^{+\infty}=\left\{\begin{aligned}&+\infty,\ &p<1\\&\frac{1}{p-1},\ &p>1\end{aligned}\right.

综上所述,当 p1p\leq 1 时,该无穷积分发散;当 p>1p>1,该无穷积分收敛。

由基准函数得到的推论:设 f(x)f(x)[a,+)(a>0)[a,+\infty)(a>0) 上非负连续,且

limx+xpf(x)=l\lim_{x\to+\infty}x^pf(x)=l

  • 0l<+0\leq l<+\inftyp>1p>1 时,a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 收敛。
  • 0<l+0<l\leq+\inftyp1p\leq 1 时,a+f(x)dx\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm dx 发散。

正项瑕积分的收敛判别法

比较判别法:

f(x),g(x)C[a,b)f(x),g(x)\in C[a,b)bb 是它们的瑕点,并且满足

0f(x)g(x), x[c,b)[a,b)0\leq f(x)\leq g(x),\ x\in[c,b)\subset[a,b)

  • abg(x)dx\int_a^bg(x)\mathrm dx 收敛时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 也收敛。
  • abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 发散时,abg(x)dx\int_a^bg(x)\mathrm dx 也发散。

比较判别法的极限形式:

f(x),g(x)f(x),g(x)[a,b)(a>0)[a,b)(a>0) 上非负连续,bb 是它们的瑕点,g(x)>0g(x)>0,并且

limxbf(x)g(x)=l\lim_{x\to b^-}\frac{f(x)}{g(x)}=l

  • 0<l<+0<l<+\inftyabg(x)dx\int_a^bg(x)\mathrm dxabf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛性相同。
  • l=0l=0,当 abg(x)dx\int_a^bg(x)\mathrm dx 收敛时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 也收敛。
  • l=+l=+\infty,当 abg(x)dx\int_a^bg(x)\mathrm dx 发散时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 也发散。

在使用瑕积分的比较判别法时,常用 f(x)=1(bx)pf(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p}f(x)=1(xa)p (a<b,p>0)f(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p}\ (a<b,p>0) 作为比较大小的基准函数。瑕积分 abdx(bx)p\displaystyle\int_a^b\dfrac{\mathrm dx}{(b-x)^p} 的收敛性很容易可以证得:

x=bx=b 为瑕点,

p=1p=1 时,

abdxbx=ln(bx)ab=+\int_a^b\dfrac{\mathrm dx}{b-x}=-\ln(b-x)\bigg|_a^b=+\infty

故该瑕积分发散。

p1p\neq 1 时,

abdx(bx)p=11p(bx)1pab={11p(ba)1p, p<1+, p>1\int_a^b\dfrac{\mathrm dx}{(b-x)^p}=-\frac{1}{1-p}(b-x)^{1-p}\bigg|_a^b=\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{1-p}(b-a)^{1-p},\ &p<1\\&+\infty,\ &p>1\end{aligned}\right.

综上所述,积分 abdx(bx)p\displaystyle\int_a^b\dfrac{\mathrm dx}{(b-x)^p}0<p<10<p<1 时收敛,当 p1p\geq1 时发散。

同理可得,积分 abdx(xa)p\displaystyle\int_a^b\dfrac{\mathrm dx}{(x-a)^p}0<p<10<p<1 时收敛,当 p1p\geq 1 时发散。

由基准函数得到的推论:

aa 是瑕点,取 g(x)=1(xa)pg(x)=\dfrac{1}{(x-a)^p},并且

limxa+(xa)pf(x)=l\lim_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=l

bb 是瑕点,取 g(x)=1(bx)pg(x)=\dfrac{1}{(b-x)^p},并且

limxb(bx)pf(x)=l\lim_{x\to b^-}(b-x)^pf(x)=l

  • 0l<+0\leq l<+\infty0<p<10<p<1 时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 收敛。
  • 0<l+0<l\leq+\inftyp1p\geq 1 时,abf(x)dx\int_a^bf(x)\mathrm dx 发散。