矩阵代数（三）：特征值与二次型

方阵的特征值与特征向量

特征值与特征多项式

对于 $n$ 阶方阵 $\bm A=(a_{ij})$ ，把含有字母 $\lambda$ 的方阵

$$\lambda\bm I-\bm A=\begin{bmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{12}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{bmatrix}$$

称为 $\bm A$ 的特征矩阵（Eigenmatrix）。

行列式 $|\lambda\bm I-\bm A|$ 的值表达式 $\psi(\lambda)$ 是一个多项式，称为 $\bm A$ 的特征多项式（Characteristic polynomial），特征多项式的根称为 $\bm A$ 的特征值（Eigenvalue） 或特征根。

如果 $\lambda_0$ 是特征多项式的单根，则称 $\lambda_0$ 为单特征值，否则称为重特征值。

为了研究特征多项式的性质，我们将行列式的完整形式写出：

$$\psi(\lambda)=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\\ -a_{12}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}$$

由行列式的排列计算法可知， $\psi(\lambda)$ 中关于 $\lambda$ 的最高次项一定取自均布项：

$$\begin{equation} (\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn}) \end{equation}$$

所以，假如我们把 $\psi(\lambda)$ 写成关于 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式那么它一定形如如下形式：

$$\psi(\lambda)=\lambda^n+c_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+c_1\lambda+c_0$$

$\psi(\lambda)$ 是一个首项系数为1的$n$ 次多项式。

实际上，多项式的 $n-1$ 次项系数 $c_{n-1}$ 也只来源于式 $(1)$ ，将式 $(1)$ 进行二项展开，我们不难得出：

$$c_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})$$

$a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$ 称作矩阵 $\bm A$ 的迹（Trace），记作 $\text{tr}(\bm A)$ 。

即 $c_{n-1}=-\text{tr}(\bm A)$ 。

对于 $\psi(\lambda)$ 的常数项系数，显然可以得：

$$c_0=\psi(0)=|0\bm I-\bm A|=|-\bm A|=(-1)^n|\bm A|$$

定理： 设 $n$ 阶方阵 $\bm A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则 $\text{tr}(\bm A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$ 。

证明：

由特征多项式根与一次因式的关系可得：

$$\psi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)$$

将等式右端乘开后合并同类项可得其 $n-1$ 次项系数为

$$c_{n-1}=-(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n)$$

又由已知结论 $c_{n-1}=-\text{tr}(\bm A)$ ，可推得：

$$\text{tr}(\bm A)=\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$$

定理： 设 $n$ 阶方阵 $\bm A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ ，则 $|\bm A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$ 。

证明：

与上面的证明方法类似，将一次因式展开可以得：

$$c_0=(-1)^n\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

又由已知结论 $c_0=(-1)^n|\bm A|$ ，可推得：

$$|\bm A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$$

推论： 可逆方阵和不可逆方阵的根本区别是：可逆方阵的所有特征值都不为0。

特征向量

设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\bm A$ 的一个特征值，则有 $\psi(\lambda_0)=0$ ，即 $|\lambda_0\bm I-\bm A|=0$ 。于是，$\lambda_0\bm I-\bm A$ 一定是降秩矩阵，从而齐次线性方程组

$$(\lambda_0\bm I-\bm A)\bm x = \bm 0$$

必有非零解，该非零解 $\bm\alpha$ 被称为特征向量，并且：

$$\bm{A\alpha}=\lambda_0\bm\alpha$$

一个特征值可以对应无穷多特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值。

定理： 对于方阵 $\bm A$ ，只要有数 $\lambda_0$ 和非零向量 $\bm\alpha$ 使得 $\bm{A\alpha}=\lambda_0\bm\alpha$ 成立，则 $\lambda_0$ 和 $\bm\alpha$ 必然是方阵 $\bm A$ 的一对特征值和特征向量。

矩阵的相似与正交矩阵

矩阵相似

在之前，我们已经了解了矩阵的其中一种关系：等价关系，现在我们来探讨方阵间一种新的关系：相似关系。

相似是同阶方阵之间才存在的一种关系，相似关系具有反身性、对称性和传递性。

定义： 对于 $n$ 阶可逆矩阵 $\bm P$ ，若 $\bm P^{-1}\bm A\bm P=\bm B$ ，则称方阵 $\bm A$ 和 $\bm B$ 相似，写作 $\bm A\sim \bm B$ ；可逆矩阵 $\bm P$ 对方阵 $\bm A$ 进行的运算 $\bm P^{-1}\bm A\bm P$ 称作相似变换，$\bm P$ 称为相似因子或相似变化矩阵。

相似矩阵性质：

若 $\bm A\sim \bm B$ ，则：

1. $R(\bm A)=R(\bm B)$
2. $|\bm A|=|\bm B|$
3. $\bm A^T\sim\bm B^T$
4. $\bm A^{-1}\sim\bm B^{-1}$ （若可逆）
5. 对任意多项式 $f(\lambda)$ ，$f(A)\sim f(B)$
6. 特征多项式相同，特征值也相同
7. $\text{tr}(\bm A)=\text{tr}(\bm B)$

相似矩阵特征多项式相同，但特征多项式相同的矩阵未必相似。

通过以上的讨论，我们知道方阵在相似关系下能保存很多固有的性质，如果我们能找到与已知方阵相似的最简形矩阵，在某些场合以该最简形矩阵代替已知矩阵，会使得运算大大简化。因此，寻求与已知方阵相似的最简形矩阵便很有意义。

方阵的相似对角化

若有可逆矩阵 $\bm P$，使得

$$\bm P^{-1}\bm A\bm P=\bm\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$

设 $\bm P=[\bm\alpha_1,\bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_n]$ ，则上式可以写成

$$\bm A[\bm\alpha_1,\bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_n]=[\bm\alpha_1,\bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_n]\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$

即

$$[\bm{A\alpha}_1,\bm{A\alpha}_2,\cdots,\bm{A\alpha}_n]=[\lambda_1\bm\alpha_1,\lambda_2\bm\alpha_2,\cdots,\lambda_n\bm\alpha_n]$$

于是有

$$\bm A\bm\alpha_i=\lambda_i\bm\alpha_i,\qquad i=1,2,\cdots,n$$

因为 $\bm\alpha_1,\bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_n$ 是可逆矩阵 $\bm P$ 的列向量组，所以必是线性无关组，也必然是非零向量，因此 $\bm\alpha_i$ 是 $\bm A$ 对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。

当 $n$ 阶矩阵 $\bm A$ 相似于对角矩阵时，该对角矩阵的主对角元素恰是 $\bm A$ 的全部特征值；相似因子 $\bm P$ 的各列恰是 $\bm A$ 的 $n$ 个线性无关的特征向量。

定理： $n$ 阶矩阵 $\bm A$ 能够相似对角化的充要条件是 $\bm A$ 存在 $n$ 个线性无关的特征向量。

推论： 若 $\bm A$ 有 $n$ 个互异的特征根，则 $\bm A$ 一定能相似对角化。（充分非必要条件）

方阵是否能相似对角化的判别方法：

1. 若特征多项式只有单根，则一定能相似对角化。
2. 若特征多项式既有单根又有重根，则当重根对应的线性无关特征向量个数小于重数时，一定能相似对角化。

一个常见的用相似对角化简化计算的例子是在求矩阵的高次方时：

$$\bm A^n=(\bm P^{-1}\bm\Lambda\bm P)^n=\bm P^{-1}\bm\Lambda\bm P\bm P^{-1}\bm\Lambda\cdots\bm P=\bm P^{-1}\bm A^n\bm P$$

正交矩阵和向量组的正交化

对于 $n$ 维实向量 $\bm\alpha,\bm\beta$，如果它们的内积 $\bm{(\alpha},\bm{\beta)}=0$，则称 $\bm\alpha$ 和 $\bm\beta$ 正交，记作 $\bm\alpha\perp\bm\beta$。

因为对任何实向量 $\bm\alpha$，总有 $\bm{(\alpha},\bm{0)}=0$，所以任何向量都和零向量正交。

如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组，简称正交组；如果正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称该向量为单位正交向量组，简称单位正交组。

正交向量组必是线性无关组。

定义： 如果 $n$ 阶实矩阵 $\bm A$ 的列向量组是单位正交向量组，则称 $\bm A$ 为正交矩阵。

定理： $n$ 阶实矩阵 $\bm A$ 为正交矩阵的充要条件是 $\bm A^T\bm A=\bm I$，即 $\bm A^T=\bm A^{-1}$。

正交矩阵性质：

若 $\bm A$ 是正交矩阵，则：

1. $-\bm A$ 也是正交矩阵
2. $\bm A^T(\bm A^{-1})$ 也是正交矩阵
3. 若 $\bm A,\bm B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $\bm{AB}$ 也是 $n$ 阶正交矩阵
4. $|\bm A|=1$ 或 $|\bm A|=-1$

定义： 对于 $n$ 阶实矩阵 $\bm A$，以 $n$ 阶正交矩阵 $\bm Q$ 为相似因子进行的相似变换 $\bm Q^{-1}\bm A\bm Q$ 称为对 $\bm A$ 的正交变换，也可以表示为 $\bm Q^T\bm A\bm Q$。

施密特正交化（Schmidt orthogonalization）：

将线性无关的实向量组进行正交化（即求与该向量组等价的正交组）是一项很有实用价值的工作，施密特逐步正交化是一种常用的方法，下面简单介绍下它的步骤。

对线性无关的实向量组 $\bm\alpha_1,\bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_n$，求与之等价的正交组 $\bm\beta_1,\bm\beta_2,\cdots,\bm\beta_n$。

1. 令 $\bm\beta_1=\bm\alpha_1$。
2. 令 $\bm\beta_2=k_1^{(2)}\bm\beta_1+\bm\alpha_2$，为确保 $\bm(\bm\beta_2,\bm\beta_1\bm)=0$，即

$$k_1^{(2)}\bm(\bm\beta_1,\bm\beta_1\bm)+\bm(\bm\alpha_2,\bm\beta_1\bm)=0$$

则

$$k_1^{(2)}=-\frac{\bm(\bm\alpha_2,\bm\beta_1\bm)}{\bm(\bm\beta_1,\bm\beta_1\bm)}$$

3. 令 $\bm\beta_3=k_1^{(3)}\bm\beta_1+k_2^{(3)}\bm\beta_2+\bm\alpha_3$，为确保 $\bm(\bm\beta_3,\bm\beta_1\bm)=0,\bm(\bm\beta_3,\bm\beta_2\bm)=0$，即可推出

$$k_1^{(3)}=-\frac{\bm(\bm\alpha_3,\bm\beta_1\bm)}{\bm(\bm\beta_1,\bm\beta_1\bm)},\qquad k_2^{(3)}=-\frac{\bm(\bm\alpha_3,\bm\beta_2\bm)}{\bm(\bm\beta_2,\bm\beta_2\bm)}$$

4. 类推可得通式 $(j<n)$：

$$\bm\beta_{j+1}=k_1^{(j+1)}\bm\beta_1+k_2^{(j+1)}\bm\beta_2+\cdots+k_j^{(j+1)}\bm\beta_j+\bm\alpha_{j+1}$$

其中

$$k_i^{(j+1)}=-\frac{\bm(\bm\alpha_{j+1},\bm\beta_i\bm)}{\bm(\bm\beta_i,\bm\beta_i\bm)},\qquad i=1,2,\cdots,j$$

5. 将 $\bm\beta_1,\bm\beta_2,\cdots,\bm\beta_n$ 全部用上述方法求出后，进行归一化，得到最终的正交组：

$$\bm\gamma_i=\frac{\bm\beta_i}{||\bm\beta_i||}$$

实对称矩阵的对角化

实对称矩阵是一种特殊的方阵，即对于任意实对称矩阵 $\bm A$，满足 $\bm A^T=\bm A$。

定理： 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交。

证明：

设 $\bm A$ 为实对称矩阵，$\lambda_1,\lambda_2$ 是 $\bm A$ 的两个不同的特征值，$\bm\alpha_1$ 和 $\bm\alpha_2$ 是 $\bm A$ 分别对应于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量，即有

$$\bm A\bm\alpha_1=\lambda_1\bm\alpha_1,\qquad \bm A\bm\alpha_2=\lambda_2\bm\alpha_2$$

将前式两端转置并右乘 $\bm\alpha_2$，将后式两端左乘 $\lambda_1^T$，得

$$\bm\alpha_1^T\bm A\bm\alpha_2=\lambda_2\bm\alpha_1^T\bm\alpha_2,\qquad\bm\alpha_1^T\bm A\bm\alpha_2=\lambda_1\bm\alpha_1^T\bm\alpha_2$$

两式相减可得

$$(\lambda_1-\lambda_2)\bm\alpha_1^T\bm\alpha_2=0$$

因为 $\lambda_1-\lambda_2\neq 0$，所以必然 $\bm\alpha_1^T\bm\alpha_2=0$，即 $\bm(\bm\alpha_1,\bm\alpha_2\bm)=0$，因此 $\bm\alpha_1,\bm\alpha_2$ 正交。

定理： 对于 $n$ 阶实对称矩阵 $\bm A$，有其特殊的相似对角化方法，称为正交相似变换，即必然存在 $n$ 阶正交矩阵 $\bm Q$，使以下等式成立：

$$\bm Q^{-1}\bm A\bm Q=\bm\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\lambda_2\\&&\ddots\\&&&\lambda_n\end{bmatrix}$$

其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 恰是 $\bm A$ 的全部特征值。

实对称矩阵对角化的步骤：

1. 求特征值
2. 求特征值对应的特征向量
3. 将特征向量单位正交化
4. 根据正交组写出 $\bm Q$ 和 $\bm\Lambda$

二次型与对称矩阵

对二次型的研究起源于二次曲线方程的化简，如下就是一个代表平面上二次曲线的二元二次方程：

$$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+b_1x+b_2y+c=0$$

由于一次项在坐标变换后依旧是一次项，为了突出问题的实质，我们取出相关方程中的二次项部分：

$$f(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2$$

它是一个二元二次齐次多项式。如果一个 $n$ 元多项式中的每一项都是二次项，则称它为一个 $n$ 元二次齐次式，也就是我们要讨论的 $n$ 元二次型。

定义： $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 所组成的二次齐次多项式表示为：

$$\begin{aligned}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\ &+a_{22}x_2^2+2a_{23}x_2x_3+\cdots+2a_{2n}x_2x_n+\cdots+a_{nn}x_n^2\end{aligned}$$

称为 $n$ 元二次型。实数域上的二次型称为实二次型，复数域上的二次型称为复二次型。

二次型可以记作对称矩阵的形式。将上述二次齐次式改写为求和形式：

$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j$$

记作

$$\bm A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix},\qquad\bm x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}$$

$$f(\bm x)=\bm x^T\bm A\bm x$$

简记为：

$$f=\bm x^T\bm A\bm x$$

对称矩阵 $\bm A$ 为二次型 $f$ 的矩阵（系数矩阵）；把 $\bm A$ 的秩定义为二次型 $f$ 的秩。

平方项的系数直接写在矩阵主对角线上，交叉项的系数除以2放在矩阵两个对称的相应位置上。

合同变换

定义： 只含平方项（不含交叉项）的二次型称为标准形式的二次型，简称为标准形：

$$g(\bm y)=b_1y_1^2+b_2y_2^2+\cdots+b_ny_n^2$$

标准形对应的矩阵表示为对角矩阵。

为了将普通的二次型转换为标准形，我们引入一个线性代换：

$$\bm x=\bm C\bm y$$

则

$$\begin{aligned}f&=\bm x^T\bm A\bm x\\ &=(\bm{Cy})^T\bm A(\bm{Cy})\\ &=\bm y^T(\bm C^T\bm A\bm C)\bm y\end{aligned}$$

当 $\bm y$ 为标准形时，此时的 $\bm C^T\bm A\bm C$ 为对角矩阵，即

$$\bm C^T\bm A\bm C=\bm\Lambda$$

此时，称 $\bm A$ 合同于 $\bm\Lambda$。

定义： 对于 $n$ 阶矩阵 $\bm A,\bm B$，如果有 $n$ 阶可逆矩阵 $\bm P$，使得

$$\bm P^T\bm A\bm P=\bm B$$

则称矩阵 $\bm A$ 和 $\bm B$ 合同，记作 $\bm A\simeq\bm B$。$\bm P$ 对 $\bm A$ 做的变换称为合同变换（Congruent transformation），$\bm P$ 称为合同因子，或合同变换矩阵。合同关系和相似一样，也具有反身性、对称性和传递性。

实对称矩阵相似必合同。

合同矩阵性质：

若 $\bm A\simeq \bm B$ ，则：

1. $R(\bm A)=R(\bm B)$
2. $\bm A^T\simeq\bm B^T$
3. 若 $\bm A,\bm B$ 都可逆，则 $\bm A^{-1}\simeq\bm B^{-1}$
4. 若两个矩阵中有一个为对称矩阵，则另一个也为对称矩阵

二次型的标准形

我们常常需要将普通的二次型转换为标准形，其中正交变换法、配方法和初等变换法和是三个常用的方法，下面我们来一一了解一下。

正交变换法：

正交变换法实际上就是上面所述正交相似的衍生方法，这里简单说明一下，由于太过复杂实际使用并不多。

1. 将二次型用矩阵表示出来
2. 求二次型矩阵的特征值
3. 求特征值对应的特征向量
4. 将特征向量单位正交化
5. 根据正交组写出 $\bm Q$ 和 $\bm\Lambda$
6. $\bm\Lambda$ 即是所要求二次型的标准形对应的矩阵

配方法：

配方法是针对实二次型的一种变换方法，通过一个例子能比较好地说明这个方法。

例： 将 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+9x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+10x_2x_3$ 化为标准形。

首先选择一个未知数开始配方，由于此处 $x_1^2$ 项系数非零，故可以选择含 $x_1$ 的项：

$$\begin{aligned}f&=x_1^2+2x_1(x_2+x_3)+(x_2+x_3)^2-(x_2+x_3)^2+3x_2^2+10x_2x_3+9x_3^2\\ &=(x_1+x_2+x_3)^2+2x_2^2+8x_2x_3+8x_3^2\end{aligned}$$

确保余下的项不含有 $x_1$，接下来可针对含 $x_2$ 的项配方：

$$f=(x_1+x_2+x_3)^2+2(x_2+2x_3)^2$$

完成配方后，可写出以下代换：

$$\left\{\begin{aligned}y_1&=x_1+x_2+\ \ x_3\\ y_2&=\ \qquad x_2+2x_3\\ y_3&=\qquad\qquad\quad x_3\end{aligned}\right.$$

即

$$\left\{\begin{aligned}x_1&=y_1-y_2+\ \ y_3\\ x_2&=\ \qquad y_2-2y_3\\ x_3&=\qquad\qquad\quad y_3\end{aligned}\right.$$

由于原式配方后 $y_3$ 的系数为零，因此所选取的 $y_3=x_3$ 并不是唯一的，只要取一个合适的值，并保证变换的系数矩阵可逆即可。

最终化出的标准形结果即为：

$$y_1^2+2y_2^2$$

并不是所有二次型都可以直接进行配方，例如下面这种只有交叉项的情况。

例： 将 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3$ 化为标准形。

该二次型中平方项的系数皆为零，因此可以先做可逆线性变换：

$$\left\{\begin{aligned}x_1&=y_1+y_2\\ x_2&=y_1-y_2\\ x_3&=\qquad\quad\ \ y_3\end{aligned}\right.$$

用矩阵可以表示为

$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&\ \ \ 1&0\\1&-1&0\\0&\ \ \ 0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}$$

可得

$$f=2(y_1^2-2y_1y_3-y_2^2+4y_2y_3)$$

此时再可进行配方：

$$f=2\left[(y_1-y_3)^2-(y_2-2y_3)^2+3y_3^2\right]$$

令

$$\left\{\begin{aligned}z_1&=y_1\ \quad-\ \ y_3\\ z_2&=\quad\ y_2-2y_3\\ z_3&=\qquad\qquad y_3\end{aligned}\right.$$

即化为标准形

$$2z_1^2-2z_2^2+6z_3^2$$

初等变换法：

当变量个数较多并且二次型中系数非零的交叉项也较多时，用配方法化二次型为标准形的过程可能非常繁琐，此时用初等变换的方法就较为合适。

定义： 以初等矩阵作合同因子所进行的合同变换称为初等合同变换：

$$\bm P^T\bm A\bm P$$

一次初等合同变换实际上就是对行、列对称进行的一套初等变换。

定理： 任何合同变换必可经过有限多次初等合同变换实现。

下面演示了一个用初等合同变换将对称矩阵转化为对角矩阵的例子：

$$\begin{bmatrix}1&2&-2\\2&4&-1\\-2&-1&0\end{bmatrix} \xrightarrow{-2c_1+c_2} \begin{bmatrix}1&0&-2\\2&0&-1\\-2&3&0\end{bmatrix} \xrightarrow{-2r_1+r_2} \begin{bmatrix}1&0&-2\\0&0&3\\-2&3&0\end{bmatrix}\\ \xrightarrow{2c_1+c_3} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&3\\-2&3&-4\end{bmatrix} \xrightarrow{2r_1+r_3} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&3\\0&3&-4\end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{3}{4}c_3+c_2} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&\dfrac{9}{4}&3\\0&0&-4\end{bmatrix} \xrightarrow{\frac{3}{4}r_3+r_2} \begin{bmatrix}1\\&\dfrac{9}{4}\\&&-4\end{bmatrix}$$

一般情形，设 $n$ 阶对称矩阵 $\bm A$ 经过 $s$ 次初等合同变换化为对角矩阵 $\bm B$ ，即

$$\bm P_s^T\cdots\bm P_2^T\bm P_1^T\bm A\bm P_1\bm P_2\cdots\bm P_s=\bm B$$

则由 $\bm A$ 到 $\bm B$ 的合同变换矩阵为

$$\bm P=\bm P_1\bm P_2\cdots\bm P_s$$

必然有

$$\bm P=\bm I\bm P_1\bm P_2\cdots\bm P_s$$

因此，在进行合同变换时，我们可以在原对称矩阵的下方加上一个单位矩阵，凡是对列的初等变换，单位矩阵都随之一起进行，而行变换则只对原矩阵进行，可以得到

$$\begin{bmatrix}\bm A\\\bm I\end{bmatrix}\xrightarrow{congruent}\begin{bmatrix}\bm B\\\bm P\end{bmatrix}$$

实二次型的规范形

容易发现，与一个非零对称矩阵合同的对角矩阵肯定不唯一，这时候，我们引入规范形的概念，规范形是实二次型矩阵所能化到的最简形态：

$$\begin{bmatrix}1\\&\ddots\\&&1\\&&&-1\\&&&&\ddots\\&&&&&-1\\&&&&&&0\\&&&&&&&\ddots\\&&&&&&&&0\end{bmatrix}$$

规范形二次型矩阵只有主对角线上有若干个1、-1或0。

写成二次型为

$$y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$$

其中，$p$ 称为实二次形 $f$ 的正惯性指数，$q$ 称为负惯性指数，$p-q$ 称为符号差，$p+q$ 就是二次型的秩。

惯性定理： 任何实二次型 $f$ 必可经过（实数域上的）可逆线性变换化为规范形，且实规范形是唯一的。

正定二次型

实二次型又被细分为以下几种类型：

1. 正定二次型：对于任意非零实向量 $\bm x$，都满足 $f(\bm x)>0$；
2. 负定二次型：对于任意非零实向量 $\bm x$，都满足 $f(\bm x)<0$；
3. 半正定二次型：对于任意实向量 $\bm x$，都满足 $f(\bm x)\geq 0$；
4. 半负定二次型：对于任意实向量 $\bm x$，都满足 $f(\bm x)\leq 0$；
5. 不定二次型：存在实向量 $\bm x_1,\bm x_2$ ，使得 $f(\bm x_1)>0,f(\bm x_2)<0$。

正定二次型必然是半正定二次型，负定二次型必然是半负定二次型，不定二次型既不是半正定的，也不是半负定的。

在各类实二次型中，正定二次型最为重要，下面主要讨论正定二次型。

定理： 可逆线性变换保持实二次型的正定性。

正定性的判别：

1. $n$ 元实二次型正定的充要条件是其标准形中 $n$ 个平方项的系数全大于零。
2. 实二次型 $f(\bm x)=\bm x^T\bm A\bm x$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 的特征值全部大于零。
3. $n$ 元实二次型 $f(\bm x)$ 正定的充要条件是它的正惯性指数为 $n$。
4. 实二次型 $f(\bm x)=\bm x^T\bm A\bm x$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 的所有顺序主子式全大于零。

对于 $n$ 阶方阵 $\bm A=(a_{ij})$，它的子式

$$|\bm A_k|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{1k}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\qquad (k=1,2,\cdots,n)$$

称为 $\bm A$ 的 $k$ 阶顺序主子式。

正定矩阵：

对于实对称矩阵 $\bm A$，如果实二次型 $f(\bm x)=\bm x^T\bm A\bm x$ 正定，则称 $\bm A$ 是正定矩阵。

1. 实对称矩阵 $\bm A$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 可以合同于一个主对角元全为正数的对角矩阵。
2. 实对称矩阵 $\bm A$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 的特征值全大于零。
3. 实对称矩阵 $\bm A$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 的所有顺序主子式全大于零。
4. $n$ 阶实对称矩阵 $\bm A$ 正定的充要条件是 $\bm A$ 的正惯性系数为 $n$。
5. 实对称矩阵 $\bm A$ 正定的充要条件是 $\bm A\simeq\bm I$。