高等数学：空间解析几何基础

平面

平面方程

在空间解析几何中，任意曲面都可以看作动点 $M$ 按照一定规律运动形成的轨迹，并由此建立曲面方程。

因为空间动点 $M$ 可以用坐标 $(x,y,z)$ 表示，所以动点 $M$ 所满足的规律通常表示为含有 $x,y,z$ 的方程：

$$F(x,y,z)=0$$

如果曲面 $\varSigma$ 上任意一点的坐标都满足该方程，不在曲面 $\varSigma$ 上的点坐标都不满足该方程，则称该方程为曲面 $\varSigma$ 的方程，而曲面 $\varSigma$ 称为该方程对应的图形。

平面的一般式方程：

设 $M(x,y,z)$ 为平面 $\pi$ 上的任意一点，则平面 $\pi$ 的方程可以表示为：

$$Ax+By+Cz+D=0$$

其中 $A,B,C$ 不同时为零。

平面的点法式方程：

垂直于平面 $\pi$ 的非零向量叫作该平面的法向量，记作 $\bm n$.

设 $M(x,y,z)$ 为平面 $\pi$ 上的任意一点，则过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，并以 $\bm n=(A,B,C)$ 为法向量的平面 $\pi$ 的方程可以表示为：

$$\overrightarrow{MM_0}\cdot\bm n=0$$

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

点法式方程 $\Rightarrow$ 一般式方程：

$$Ax+By+Cz+[-(Ax_0+By_0+Cz_0)]=0$$

$$D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$$

一般式方程 $\Rightarrow$ 点法式方程：

设 $x_0,y_0,z_0$ 是满足 $Ax_0+By_0+Cz_0+D=0$ 的一个解，则将其与一般式方程相减，即可得到点法式方程。

平面的三点式方程：

设 $M(x,y,z)$ 为平面 $\pi$ 上的任意一点，如果平面过不共线的三点 $M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2),M_3(x_3,y_3,z_3)$，则向量 $\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3}$ 共面，并且平面 $\pi$ 的方程可以表示为：

$$(\overrightarrow{M_1M}\times\overrightarrow{M_1M_2})\cdot\overrightarrow{M_1M_3}=0$$

即

$$\begin{vmatrix} x-x_1&y-y_1&z-z_1\\ x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\ x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$$

或

$$\begin{vmatrix} 1&x&y&z\\ 1&x_1&y_1&z_1\\ 1&x_3&y_3&z_3 \end{vmatrix}=0$$

平面的截距式方程：

设 $M(x,y,z)$ 为平面 $\pi$ 上的任意一点，$a,b,c$ 依次为平面在 $x,y,z$ 轴上的截距，则平面 $\pi$ 的方程可以表示为：

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

截距式方程 $\iff$ 一般式方程：

$$A=-\frac{D}{a},B=-\frac{D}{b},C=-\frac{D}{c}$$

平面的位置关系

两平面的夹角：

两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。当两平面互相不垂直或不平行时，两平面的夹角通常取锐角。

设两平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的法向量分别为 $\bm n_1=(A_1,B_1,C_1)$ 和 $\bm n_2=(A_2,B_2,C_2)$，两平面的夹角为 $\theta$，则

$$\cos\theta=\frac{|\bm n_1\cdot\bm n_2|}{|\bm n_1||\bm n_2|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$

平面 $\pi_1$ 和平面 $\pi_2$ 互相垂直的充要条件为：

$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$$

平面 $\pi_1$ 和平面 $\pi_2$ 互相平行的充要条件为：

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$$

特别地，当两平面重合时：

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$$

点到平面的距离：

设平面 $\pi$ 的方程为 $Ax+By+Cz+D=0$，$M_0(x_0,y_0,z_0)$ 是平面 $\pi$ 外的一点，求点 $M_0$ 到平面 $\pi$ 的距离：

任取 $\pi$ 上一点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$，并作向量 $\overrightarrow{M_1M_0}$，则

$$d=|Prj_{\bm n}\overrightarrow{M_1M_0}|=\frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\cdot\bm n|}{|\bm n|}$$

由于

$$\begin{aligned} \overrightarrow{M_1M_0}\cdot\bm n&=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\cdot(A,B,C)\\ &=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)\\ &=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)\\ &=Ax_0+By_0+Cz_0+D \end{aligned}$$

所以点到平面的距离的距离公式为：

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

空间直线

空间直线的方程

直线的一般式方程：

空间直线 $L$ 可以看作不平行的两平面（$A_1,B_1,C_1$ 和 $A_2,B_2,C_2$ 不成比例）

$$\pi_1:\quad A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ \pi_2:\quad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$

的交线，则直线 $L$ 可以用方程组表示：

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \end{cases}$$

直线的对称式方程：

平行于直线的非零向量称为直线的方向向量，记作 $\bm s$.

设 $M(x,y,z)$ 是直线 $L$ 上的任意一点，直线 $L$ 过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，并且方向向量 $\bm s=(m,n,p)$，则直线 $L$ 的方程可以表示为：

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$

称 $m,n,p$ 为该直线的方向数。

一般式方程 $\Rightarrow$ 对称式方程：

找出平面 $\pi_1,\pi_2$ 的法向量 $\bm n_1,\bm n_2$，则可求出直线 $L$ 的方向向量：

$$\bm s=\bm n_1\times\bm n_2$$

再任取直线上的一点，即可求出直线的对称式方程。

直线的参数方程：

由对称式方程可以转化为参数方程，令

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$$

则直线 $L$ 的方程可以表示为：

$$\begin{cases} x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt. \end{cases}$$

点、直线、平面之间的关系

两直线的夹角：

两直线的方向向量的夹角称为两直线的夹角。当两条直线互相不垂直或不平行时，两直线的夹角通常取锐角。

设有两直线 $\displaystyle L_1:\ \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1}$ 和 $\displaystyle L_2:\ \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2}$，两直线的夹角为 $\theta$，则

$$\cos\theta=\frac{|\bm s_1\cdot\bm s_2|}{|\bm s_1||\bm s_2|}=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$$

直线 $L_1$ 和直线 $L_2$ 互相垂直的充要条件为：

$$m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$$

直线 $L_1$ 和直线 $L_2$ 互相平行的充要条件为：

$$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$$

直线 $L_1$ 和直线 $L_2$ 异面的充要条件为（$M_1,M_2$ 分别为 $L_1,L_2$ 上一点）：

$$(\bm s_1\times\bm s_2)\cdot\overrightarrow{M_1M_2}\neq 0$$

直线与平面的夹角：

过直线 $L$ 且垂直于平面 $\pi$ 的平面与片面 $\pi$ 的交线 $L'$，称为直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上的投影直线。

设直线 $L$ 的方向向量 $\bm s=(m,n,p)$，直线 $\pi$ 的法向量 $\bm n=(A,B,C)$，直线 $L$ 与平面 $\pi$ 的夹角为 $\theta\ (0\leq\theta\leq\dfrac{\pi}{2})$，则

$$\sin\theta=|\cos(\widehat{\bm s,\bm n})|=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$

直线 $L$ 和平面 $\pi$ 互相垂直的充要条件为：

$$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$$

直线 $L$ 和平面 $\pi$ 互相平行的充要条件为：

$$Am+Bn+Cp=0$$

点到直线的距离：

求点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到过点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 的直线 $\displaystyle L:\ \frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$ 的距离：

$$\overrightarrow{M_1M_0}=(x_0-x_1,y_0-y_1,z_0-z_1)\\ \ \\ d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\bm s|}{|\bm s|}$$

两直线的距离：

设 $M_1,M_2$ 分别为两直线 $L_1,L_2$ 上的两点，$\bm s_1,\bm s_2$ 分别为 $L_1,L_2$ 的方向向量。

两平行直线的距离 $(\bm s_1=\bm s_2=\bm s)$：

$$d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_2}\times\bm s|}{|\bm s|}$$

两异面直线的距离：

$$d=\frac{|(\bm s_1\times\bm s_2)\cdot\overrightarrow{M_1M_2}|}{|\bm s_1\times\bm s_2|}$$

推导方法：以 $\bm s_1,\bm s_2,\overrightarrow{M_1M_2}$ 为棱画平行六面体，则 $|(\bm s_1\times\bm s_2)\cdot\overrightarrow{M_1M_2}|$ 表示该平行六面体的体积，$|\bm s_1\times\bm s_2|$ 表示该平行六面体的底面积。

过直线的平面束方程

设直线 $L$ 的方程为

$$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0. \end{cases}$$

其中 $A_1,B_1,C_1$ 和 $A_2,B_2,C_2$ 不成比例。

对任意不全为零的实数 $\lambda,\mu$ 作方程：

$$\begin{aligned} \lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)&=0\\ (\lambda A_1+\mu A_2)x+(\lambda B_1+\mu B_2)y+(\lambda C_1+\mu C_2)z&=0 \end{aligned}$$

其中 $\lambda A_1+\mu A_2$，$\lambda B_1+\mu B_2$，$\lambda C_1+\mu C_2$ 不同时为零。

该方程称为过直线 $L$ 的平面束方程（equation of a pencil of planes）。

当 $\lambda\neq 0$ 时，原方程可以记为：

$$(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda'(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

当 $\mu\neq 0$ 时，原方程可以记为：

$$\lambda''(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$$

曲线与曲面

曲面方程

球面方程：

求心在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，半径为 $R$ 的球面方程可以表示为：

$$\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}=R$$

或

$$Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0$$

第二个方程经过配方后可以化为第一个方程。

柱面方程：

一动直线 $L$ 沿着给定的曲线 $C$ 且平行于定直线移动所形成的曲面称为柱面，其中动直线 $L$ 称为柱面的母线（generatrix），定曲线称为柱面的准线（directrix）。

空间中的柱面方程与平面上的准线方程一致，因此柱面的母线平行于哪个坐标轴，那么柱面方程就与哪个坐标无关。例如：若准线是 $Oxy$ 面上的一条曲线，其方程为 $F(x,y)=0$，则 $F(x,y)=0$ 在空间中表示母线平行于 $z$ 轴的柱面。同理，$G(x,z)=0$ 表示母线平行于 $y$ 轴的柱面，$H(y,z)=0$ 表示母线平行于 $x$ 轴的柱面。

方程	平面	空间
$x+y=1$	直线	平面
$x^2+y^2=a^2$	圆	圆柱面
$x^2=2z$	抛物线	抛物柱面
$y^2-z^2=1$	双曲线	双曲柱面

求母线不平行于坐标轴的柱面方程的步骤：

1. 在准线上任取一点 $P(x_0,y_0,z_0)$。
2. 过 $P$ 点写出与母线平行的直线方程 $L$。
3. 联立直线方程 $L$ 和准线方程，消去 $x_0,y_0,z_0$，得到柱面方程。

旋转曲面：

平面曲线 $L$ 绕该平面上的一条定直线旋转所生成的曲面称为旋转曲面，其中定直线称为旋转曲面的轴（axis），平面曲线 $L$ 称为旋转曲面的母线。

曲线 $L$ 绕 $x$ 轴旋转所生成的旋转曲面的方程：

$$F(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$$

曲线 $L$ 绕 $y$ 轴旋转所生成的旋转曲面的方程：

$$F(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0$$

曲线 $L$ 绕 $z$ 轴旋转所生成的旋转曲面的方程：

$$F(z,\pm\sqrt{x^2+y^2})=0$$

旋转曲面类型	曲线/直线方程	曲面方程
旋转椭球面	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$	$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2+z^2}{c^2}=1$ 和 $\dfrac{x^2+y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$
圆锥面	$z=ay$	$z=\pm a\sqrt{x^2+y^2}$
旋转抛物面	$y^2=2pz\ (p>0)$	$x^2+y^2=2pz$

曲线的参数方程：

对于任意 $(u,v)\in G$，都有唯一确定的 $x,y,z$ 值与之对应，并且点 $M(x,y,z)$ 在曲面 $\sigma$ 上；反之，曲面上每一点的坐标 $x,y,z$ 都可以由 $(u,v)\in G$ 来表示。可以写出以下曲面 $\sigma$ 的参数方程：

$$\begin{cases} x=x(u,v),\\ y=y(u,v),&(u,v)\in G\\ z=z(u,v).\\ \end{cases}$$

半径为 $R$ 的球面的参数方程为：

$$\begin{cases} x=R\sin\varphi\cos\theta,\\ y=R\sin\varphi\sin\theta,&(0\leq\varphi\leq\pi,0\leq\theta\leq 2\pi)\\ z=R\cos\varphi.\\ \end{cases}$$

圆锥面 $z^2=a^2(x^2+y^2)\ (a>0)$ 的参数方程为：

$$\begin{cases} x=u\cos v,\\ y=u\sin v,&(0\leq u<+\infty,0\leq v\leq 2\pi)\\ z=\pm au.\\ \end{cases}$$

圆柱面 $x^2+y^2=R^2$ 的参数方程为：

$$\begin{cases} x=R\cos u,\\ y=R\sin u,&(0\leq u\leq 2\pi,-\infty<v<+\infty)\\ z=v.\\ \end{cases}$$

曲线方程

曲线的一般式方程：

空间曲线可以看作是两个曲面的交线。若曲面 $F(x,y,z)=0$ 和 $G(x,y,z)=0$ 的交线为 $\varGamma$，则曲线 $\varGamma$ 可以用方程组表示：

$$\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0. \end{cases}$$

曲线的参数方程：

空间曲线也可以用参数方程来表示，即把曲线的动点的坐标 $x,y,z$ 分别表示成参数 $t$ 的函数：

$$\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),&(\alpha\leq t\leq\beta)\\ z=z(t). \end{cases}$$

对于每一个 $t$ 值，都有一组 $x,y,z$ 对应于曲线上一点 $M$，当 $t$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续变动时，就得到曲线 $\varGamma$ 上的全部点。

空间曲线在坐标面上的投影：

由空间曲线 $\varGamma$ 的一般方程

$$\begin{cases} F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0. \end{cases}$$

消去 $z$ 可以得

$$H(x,y)=0$$

称此柱面为曲线 $\varGamma$ 关于 $Oxy$ 面上的投影柱面。

此投影柱面与 $Oxy$ 面的交线：

$$\begin{cases} H(x,y)=0,\\ z=0. \end{cases}$$

称为曲线 $\varGamma$ 在$Oxy$ 面上的投影曲线。

同理可得曲线 $\varGamma$ 在 $Oxz$ 面和 $Oyz$ 面上的投影柱面和投影曲线。

常见的二次曲面

椭球面：

方程：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(a,b,c>0)$$

椭球面关于原点、坐标面、坐标轴都是对称的，原点称为椭球面的中心，$a,b,c$ 称为椭球面的半轴。球面被包含在由六个平面 $x=\pm a,y=\pm b,z=\pm c$ 所围成的长方体内，故称椭球面为有界曲面。

用平行于 $Oxy$ 面的平面 $z=z_0\ (-c<z_0<c)$ 截椭球面，其交线为：

$$\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1-\dfrac{z_0^2}{c^2},\\ z=z_0 \end{cases}$$

即

$$\begin{cases} \dfrac{x^2}{a^2(1-\dfrac{z_0^2}{c^2})}+\dfrac{y^2}{b^2(1-\dfrac{z_0^2}{c^2})}=1,\\ z=z_0 \end{cases}$$

它是平面 $z=z_0$ 上的椭圆，两个半轴长分别为

$$a\sqrt{1-\dfrac{z_0^2}{c^2}},b\sqrt{1-\dfrac{z_0^2}{c^2}}$$

二次锥面：

方程：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0\quad(a,b,c>0)$$

二次锥面关于原点、坐标面、坐标轴都是对称的，但它是无界曲面，并且和 $Oxy$ 面只相交于原点。

用 $z=z_0\ (-\infty<z_0<+\infty,z_0\neq 0)$ 平面截二次锥面，交线为

$$\begin{cases} \dfrac{x^2}{\left(\dfrac{az_0}{c}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{bz_0}{c}\right)^2}=1,\\ z=z_0 \end{cases}$$

它是平面 $z=z_0$ 上的椭圆，两个半轴长分别为

$$\left|\dfrac{az_0}{c}\right|,\left|\dfrac{bz_0}{c}\right|$$

用 $x=x_0\ (-\infty<x_0<+\infty)$ 平面截二次锥面，交线为

$$\begin{cases} \dfrac{z^2}{\left(\dfrac{cx_0}{a}\right)^2}-\dfrac{y^2}{\left(\dfrac{bx_0}{a}\right)^2}=1,\\ x=x_0 \end{cases}$$

用 $y=y_0\ (-\infty<y_0<+\infty)$ 平面截二次锥面，交线为

$$\begin{cases} \dfrac{z^2}{\left(\dfrac{cy_0}{b}\right)^2}-\dfrac{x^2}{\left(\dfrac{ay_0}{b}\right)^2}=1,\\ y=y_0 \end{cases}$$

它们是平面 $x=x_0$ 或平面 $y=y_0$ 上的抛物线。

双曲面：

单叶双曲面方程：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\quad(a,b,c>0)$$

单叶双曲面是关于原点、坐标面、坐标轴对称的无界曲面。

双叶双曲面方程：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1\quad(a,b,c>0)$$

双叶双曲面是关于原点、坐标面、坐标轴对称的无界曲面。并且曲面上的点 $M(x,y,z)$ 满足

$$\frac{y^2}{b^2}-1\geq 0$$

即曲面位于平面 $y=b$ 的右侧或 $y=-b$ 的左侧。

抛物面：

椭圆抛物面方程：

$$\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}=z\quad(pq>0)$$

当 $p>0,q>0$ 时，曲面位于 $Oxy$ 面上方，且过原点，是关于 $z$ 轴、坐标面 $Oyz,Oxz$ 对称的无界曲面。

双曲抛物面：

$$\frac{x^2}{2p}-\frac{y^2}{2q}=z\quad(pq>0)$$

当 $p>0,q>0$ 时，曲面过原点，是关于 $z$ 轴、坐标面 $Oyz,Oxz$ 对称的无界曲面。